著名數(shù)學(xué)難題賞析-百錢百雞

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1、衡東職中專業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)知識講座教案------著名數(shù)學(xué)難題賞析：百雞百錢數(shù)學(xué)教研組（共兩課時120分鐘）我國古代數(shù)學(xué)書《張邱建算經(jīng)》中有如下問題，也就是著名的百雞百錢問題。大意是：公雞1只值錢5，母雞1只值錢3，小雞3只值錢1。今有錢100，買雞100只。問公雞、母雞、小雞各買幾只？關(guān)于這個“百雞百錢問題”還流傳著下面一個故事哩！-4-衡東職中專業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)知識講座教案在我國南北朝的時候，京城里有個賣雞的張老老，所生一子，天資聰穎，勤學(xué)不怠。到十二三歲，已經(jīng)博覽群書，尤其富有算術(shù)的天才。鄰居每遇疑難問題，或是錢銀上發(fā)生糾紛，都由他一言解決。因此大家都叫他張神童

2、，逐漸傳揚開去，不久就遠近聞名了。當朝的老丞相愛才若渴，一天，聽人談到張神童的算法，心中很是不信，當下想了一個方法要去試探他，于是喚他的仆人去打聽張老老賣的雞是什么價錢。不多時仆人回答說：“公雞每只賣錢五文，母雞每只賣錢三文，小雞每三只賣錢一文。”老丞相就拿出一百文錢，命仆人去給張老老，叫他盡這一百文錢把三種雞配成一百只，不多不少，明天送來。張老老暗想：這實在是一個難題，然而又不敢違命，當時只好一口答應(yīng)。等到收市后，就開始把三種雞配起來。但是左配右配，總是配不成。正在無計可施的時候，他的兒子來了，問起情由，才知道是這樣的一件事。于是安慰著父親，叫他不要著急

3、，明天總有辦法。張神童當晚經(jīng)過仔細研究，果然找到了答案。第二天選出了“公雞4只，母雞18只，小雞78只”叫他父親送到相府。老丞相拿來一算：4只公雞值錢二十文，18只母雞值錢五十四文，78只小雞值錢二十六文，共計100只雞，恰巧值錢一百文。心里一高興，立刻又拿一百文錢給張老老，叫他明天再送一百只雞來，不過三種雞的只數(shù)要換一種方法搭配。張老老口頭答應(yīng)著，心里很是擔憂，垂頭喪氣地回到家，忙和兒子商量。兒子說：“你明天拿8只公雞，11只母雞，81只小雞送去就是了?！钡诙鞆埨侠弦姥运腿?，老丞相一算，又是一點不錯。心里一高興，又給張老老一百文錢，要再另配一百只雞。張

4、老老暗想：這回恐怕是無法應(yīng)付了。不料他的兒子又檢出“公雞12只，母雞4只，小雞84只”叫父親送去。老丞相一算，又絲毫不錯，很是佩服，連忙問張老老是誰人配成的。張老老只得照實說了。老丞相立即召張神童來，授他官職。后來張神童年紀漸大，曾發(fā)明通分簡法，級數(shù)算法等，著了一部書名叫《張邱建算經(jīng)》。上面說的“百雞百錢問題”也載在這部書中。故事講完了?，F(xiàn)在我們來研究一下這類題的解答方法：(Ⅰ)算術(shù)方法用純粹的算術(shù)眼光來觀察這百雞題，卻是一個普通的混合比例題。因為100只雞值錢一百文，平均每只就值錢一文。所以就它們損益(即虧盈)的數(shù)可以求得混合量的比，再用配分法來分配得下

5、表：上表應(yīng)這樣理解，若每只公雞、母雞都作一文賣，虧損4＋2=6(文)，1：1：9．于是依照這連比來把100只雞分成3份。但是雞的只數(shù)必須是整數(shù)，而1＋1＋9=11，不是100的約數(shù)，所以這個連比不適用。另行推求，得3：1：21就對了。因為3＋1＋21=25，而25是100的約數(shù)，所以若把混合量的比逐次推求下去，一定還可以得兩個適用的連比：2：9：39，8：11：81．按照這些連比計算，就可得上面故事中張神童所作的另兩個答案：公雞4只，母雞18只，小雞78只：或公雞8只，母雞11只，小雞81只。上法推得符合要求的三個不同的混合量的比，就可求得三個不同的答案。

6、但是事實上要求得三個適用的連比，并非容易。下面介紹方便一些的增減率加減法。-4-衡東職中專業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)知識講座教案為此，我們先來研究張神童的三種答案的變化情況，發(fā)現(xiàn)公雞的只數(shù)逐次多4；母雞的只數(shù)逐次少7；小雞的只數(shù)逐次多3．每次加多的雞同減少的雞都是7只，所以雞的總數(shù)三次一樣是100只。這是應(yīng)該注×3=21文。減少的7只母雞恰巧也是值錢3文×7=21文，所以雞的總價值三次都是一百文。這是應(yīng)該注意的又一點。照此看來，這百雞問題的答案，我們求到第一種之后，只要公雞數(shù)加4，母雞數(shù)減7，小雞數(shù)加3，就可以求到其余的答案?；蛳惹蟮降谌N答案，然后公雞數(shù)減4，母雞數(shù)加7

7、，小雞數(shù)減3，也可求得其他的答案。這4，7，3我們可以稱它做“增減率”。再來研究一個問題，百雞問題是否還有第四種答案呢？這很容易解決，用增減率加減就行了。現(xiàn)在把第三種答案增減如下：公雞12＋4=16只，母雞4－7=－3只，小雞84＋3=87只，因雞數(shù)不能是負數(shù)，所以這答案不適用。若繼續(xù)進行，母雞的只數(shù)終不能成正數(shù)。再把第一種答案增減：公雞4－4=0只，母雞18+7=25只，小雞78－3=75只，因為不能沒有公雞，所以這答案也不適用。若繼續(xù)進行，公雞的只數(shù)又成負數(shù)了。由此知道這個問題的答案再也沒有第四種了。(Ⅱ)代數(shù)解法用代數(shù)眼光來觀察百雞問題，卻是一個普通

8、的不定方程問題。因為未知數(shù)有三個，方程卻只能列兩個，所以答數(shù)也就不