D75可降階高階微分方程(I)

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1、可降階高階微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五節(jié)一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程第七章一、令因此即同理可得依次通過n次積分,可得含n個任意常數(shù)的通解.型的微分方程機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束型的微分方程設(shè)原方程化為一階方程設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、型的微分方程令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解代入方程得兩端積分

2、得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.解初值問題解:令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P3231(5),(7),(10);2(3),(6);3;4作業(yè)第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負(fù)號.機(jī)動目錄上頁下

3、頁返回結(jié)束為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x軸圍成的三角形面3.二階可導(dǎo),且上任一點P(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為?,滿足的方程.積記為(99考研)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束再利用y(0)=1得利用得兩邊對x求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時刻B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對x求導(dǎo),得又由于設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v備用題的速度沿y軸正向運(yùn)動,物體B從(–1,0)出發(fā),試建立物

4、體B的運(yùn)動軌跡應(yīng)滿足的微分方程及初始條件.①機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束代入①式得所求微分方程:其初始條件為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

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