高三一輪：取球問(wèn)題

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1、取球問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：在很多隨機(jī)變量的題目中，常以“取球”作為故事背景，通過(guò)對(duì)“取球”提出不同的要求，來(lái)考察不同的模型，常見(jiàn)的模型及處理方式如下：1、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停宏P(guān)鍵詞“可放回的抽取”，即下一次的取球試驗(yàn)與上一次的相同。2、超幾何分布模型：關(guān)鍵詞“不放回的抽取”（一次性抽取、逐一不放回抽?。?、與條件概率相關(guān)：此類問(wèn)題通常包含一個(gè)抽球的規(guī)則，并一次次的抽取，要注意前一次的結(jié)果對(duì)后一步抽球的影響4、古典概型：要注意雖然題目中會(huì)說(shuō)明“相同的”小球，但是為了能使用古典概型（保證基本事件為等可能事件），通常要將“相同的”小球視為“不同的”元

2、素，在利用排列組合知識(shí)進(jìn)行分子分母的計(jì)數(shù)。5、數(shù)字問(wèn)題：在小球上標(biāo)注數(shù)字，所涉及的問(wèn)題與數(shù)字相關(guān)（奇，偶，最大，最小等），在解決此類問(wèn)題時(shí)，要將數(shù)字模型轉(zhuǎn)化為“怎樣取球”的問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為前幾個(gè)類型進(jìn)行求解。二、典型例題：例1：一袋中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球（1）不放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（2）有放回地依次取出3個(gè)球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率（3）有放回的依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)的分布列，期望和方差-6-例2：已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的3

3、個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲，乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球（1）求取出的4個(gè)球中沒(méi)有紅球的概率（2）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率（3）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望例3：甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為、、，乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為，某人用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左右手依次各取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記成功取法次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．-6-例4：袋中裝有若干個(gè)

4、質(zhì)地均勻大小相同的紅球和白球，白球數(shù)量是紅球數(shù)量的兩倍，每次從袋中摸出一個(gè)球，然后放回，若累計(jì)3次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直到第5次摸球后結(jié)束（1）求摸球四次就停止的事件發(fā)生的概率（2）記摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其期望例5：學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球，2個(gè)黑球；乙箱子里面裝有1個(gè)白球，2個(gè)黑球；這些球除了顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)（每次游戲后將球放回原箱）（1）求在一次游戲中①摸出3個(gè)白球的概率②獲獎(jiǎng)的概率（2）求在三次游戲中獲獎(jiǎng)次

5、數(shù)的分布列與期望-6-三、歷年好題精選1、（2014，福建）為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額．若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及數(shù)學(xué)期望．2、（2014，重慶）一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上

6、的數(shù)字完全相同的概率；(2)表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．(注：若三個(gè)數(shù)滿足，則稱為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù))-6-習(xí)題答案：1、解析：（1）①設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為（2）可取的值為的分布列為20600.50.5所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望為．（2）每個(gè)顧客平均獎(jiǎng)勵(lì)額為元，可知期望有可能達(dá)到的只有方案或，分別分析以下兩種方案：方案一：，則的取值為方案二：，則的取值為由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.2、解析：（1）設(shè)事件為“3張卡片數(shù)字完全相同”-6-（2）可取的值為

7、的分布列為：1233、解析：（1）設(shè)事件為“一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球”（2）可取的值為的分布列為：34564、解析：（1）設(shè)事件為“3個(gè)小球上的數(shù)字分別是1,2,3”-6-（2）設(shè)事件為“3個(gè)小球上的數(shù)字恰有2個(gè)相同”（3）可取的值為的分布列為：2345-6-