whx第十五章傅里葉級數(shù)

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1、第十五章傅里葉級數(shù)§1傅里葉級數(shù)§2以2l為周期的函數(shù)的展開式§3收斂定理的證明§1傅里葉級數(shù)首頁×一、三角函數(shù)·正交函數(shù)系在科學(xué)實(shí)驗(yàn)與工程技術(shù)的某些現(xiàn)象中，常會(huì)碰到一種周期運(yùn)動(dòng)。最簡單的周期運(yùn)動(dòng)，可用正弦函數(shù)來描寫。(1)由（1）所表達(dá)的周期運(yùn)動(dòng)也稱為簡諧振動(dòng)，其中為振幅，為初相角，為角頻率，于是簡諧振動(dòng)的周期是。所以函數(shù)（2）的周期為。對無窮多個(gè)簡諧振動(dòng)進(jìn)行疊加就得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的疊加2）（由于簡諧振動(dòng)的周期為較為復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，則常是幾個(gè)簡諧振動(dòng)若級數(shù)（3）收斂，則它所描述的是更為一般的周期運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

2、對于級數(shù)（3），只要討論（如果，可用代替）的情形。由于所以記則級數(shù)（3’）可寫成（3）（3’）它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系）1，，，，，…，，…（4）所產(chǎn)生的一般形式的三角函數(shù)。容易驗(yàn)證，若三角級數(shù)（4）收斂，則它的和一定是一個(gè)以為周期的函數(shù)。證對任何實(shí)數(shù)，由于應(yīng)用魏爾斯特拉斯判別法（定理13.5）就能推得本定理的結(jié)論?！?。為進(jìn)一步研究三角級數(shù)（4）的收斂性，先探討三角函數(shù)系（5）具有哪些特性。首先容易看出，三角函數(shù)系（5）中所有函數(shù)具有共同的周期.關(guān)于三角級數(shù)（4）的收斂性有如下定理：定理15.1

3、若級數(shù)收斂，則級數(shù)（4）在整個(gè)數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂。其次，在三角函數(shù)系（5）中，任何兩個(gè)不相同的函數(shù)的乘積在上的積分都等于零，即（6）（7）而（5）中任何一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分都不等于零，即（8）通常把兩個(gè)函數(shù)可積，且的函數(shù)與稱為在上是正交的。三角函數(shù)系（5）在上具有正交性，或說（5）是正交函數(shù)系。應(yīng)用三角函數(shù)系（5）的正交性，討論三角函數(shù)（4）的和函數(shù)與級數(shù)（4）的系數(shù)，，之間的關(guān)系。定理15.2若在整個(gè)數(shù)軸上且等式右邊級數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：（9）（10a）（10b）證由定理?xiàng)l件，函數(shù)在逐

4、項(xiàng)積分得且可積。對（9）式上連續(xù)二以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)由關(guān)系式（6）知，上式右邊括號內(nèi)的積分都等于零。所以即得現(xiàn)以乘（9）式兩邊（為正整數(shù)），得（11）從第十三章§1習(xí)題4知道，由級數(shù)（9）一致收斂，可推出級數(shù)（11）也一致收斂。于是對級數(shù)（11）逐項(xiàng)求積，有由三角函數(shù)的正交性，右邊除了以為系數(shù)的那一項(xiàng)積分外，其他各項(xiàng)積分都等于0，于是得出（同理，（9）式兩邊乘以，并逐項(xiàng)求積，可得若是以為周期且在上可積的函數(shù)，則可按公式（10）和，它計(jì)算出們稱為函數(shù)（關(guān)于三角函數(shù)系數(shù)）的傅里葉系數(shù)，的傅里葉系數(shù)為系

5、數(shù)的三角級數(shù)（9）稱為（關(guān)于三角函數(shù)系）的傅里葉級數(shù)，記作以（12）這里記號“~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級數(shù)。由定理15.2知道：若（9）式右邊的三角級數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上一致收斂于其和函數(shù)，我們知道，若的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，則稱在上光滑。但若上除了至多定義在有有限個(gè)第一間斷點(diǎn)的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上除了至多有限個(gè)點(diǎn)外都存在且連續(xù)，在這有限個(gè)點(diǎn)上導(dǎo)函數(shù)右極限存在，則稱的左、在上按段光滑。根據(jù)下述定義，若函數(shù)上按段光滑，則有如下重要性質(zhì)：在三收斂定理定理15.3若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則在每一點(diǎn)的傅里葉級數(shù)（

6、12）收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值，即其中為的傅里葉系數(shù)。，3在補(bǔ)充定義在上那些至多有限個(gè)不存在點(diǎn)上的值后（仍記為上可積。從幾何圖形上講，在區(qū)間上按段光滑函數(shù)，是由有限個(gè)光滑弧段所在),1在上可積。2在上每一點(diǎn)都存在，且有：（13）組成，它至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)與角點(diǎn)（圖15－1）收斂定理指出，f的傅里葉級數(shù)在點(diǎn)x處收斂于這一點(diǎn)上的左、右極限的算術(shù)平均值；而當(dāng)在點(diǎn)x連續(xù)時(shí)，則有,即此時(shí)f的傅里葉級數(shù)收斂于。于是有如下推論。推論若f是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則的傅里葉級數(shù)在上收斂于。根據(jù)

7、收斂定理的假設(shè)，是以為周期的函數(shù)，所以系數(shù)公式（10）中的積分區(qū)間可以改為長度為的任何區(qū)間，而不影響，的值（10’）其中為任何實(shí)數(shù)。注意在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時(shí)，常只給出函數(shù)在（或）上的解析表達(dá)式，但應(yīng)理解為它是定義在整個(gè)數(shù)軸上以為周期的函數(shù)。即在以外的部分按函數(shù)在上的對應(yīng)關(guān)系作周期延拓。如為上的解析表達(dá)式，那么周期延拓后的函數(shù)為如圖15－2所示。因此說函數(shù)f的傅里葉級數(shù)就是指函數(shù)的傅里葉級數(shù)。例1設(shè)求的傅里葉級數(shù)展開式。解函數(shù)及其周期延拓后是按段光滑的，故由定理15.3（收斂定理），它可以展開

8、成傅里葉級數(shù)。由于當(dāng)時(shí)，所以在開區(qū)間上在時(shí)，上式右邊收斂于例2把下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)解f及其周圍延拓的圖形是按段光滑的，因此它可以展開成傅里葉級數(shù)。在（10’）中令c=0來計(jì)算傅里葉系數(shù)如下所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于所以（14）當(dāng)或時(shí)，由于因此（15）由（14）或（15）都可推得