第十五章傅里葉級數(shù)

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1、SF01（數(shù)）Ch15Fourier級數(shù)計(jì)劃課時(shí)：12時(shí)206Ch15Fourier級數(shù)（12時(shí)）§1Fourier級數(shù)（6時(shí)）一．三角級數(shù)：1．背景：⑴波的分析：頻譜分析.基頻().倍頻.⑵函數(shù)展開條件的減弱:積分展開.⑶中用Descates坐標(biāo)系建立坐標(biāo)表示向量思想的推廣:調(diào)和分析簡介:十九世紀(jì)八十年代法國工程師Fourier建立了Fourier分析理論的基礎(chǔ).2.三角級數(shù)的一般形式:一般的三角級數(shù)為.由于,設(shè),得三角級數(shù)的一般形式3.三角級數(shù)的收斂性:Th1若級數(shù)收斂,則級數(shù)在R內(nèi)絕對且一致收斂.證用M判別法.二.三角函數(shù)正交系統(tǒng)

2、:1.內(nèi)積和正交:由R中的內(nèi)積與正交概念引入.設(shè)函數(shù)和在區(qū)間上(R)可積.定義內(nèi)積為206.當(dāng)時(shí),稱函數(shù)和在區(qū)間上正交.函數(shù)的正交性與區(qū)間有關(guān).例如函數(shù)和在區(qū)間上并不正交(因?yàn)?,但在區(qū)間卻是正交的.2.正交函數(shù)系統(tǒng):標(biāo)準(zhǔn)正交系(幺正系),完全系.3.三角函數(shù)正交系統(tǒng):三角函數(shù)系統(tǒng)是區(qū)間上的正交系統(tǒng).驗(yàn)證如下:,;,對且,有和.該系統(tǒng)不是標(biāo)準(zhǔn)正交系,因?yàn)?.因此,三角函數(shù)系統(tǒng)206是標(biāo)準(zhǔn)正交系.（與R中的坐標(biāo)系比較）二.以為周期函數(shù)的Fourier級數(shù)：1．三角級數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的關(guān)系：Th2若在整個(gè)數(shù)軸上且等式右端的級數(shù)一致收斂，則

3、有如下關(guān)系式，，證[1]P842．Fourier系數(shù)和Fourier級數(shù)：Euler―Fourier公式：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上（R）可積，稱公式，，為Euler―Fourier公式.稱由Euler―Fourier公式得到的和為函數(shù)的Fourier系數(shù).并稱以Fourier系數(shù)和為系數(shù)的三角級數(shù)為函數(shù)的Fourier級數(shù),記為～例1,.求函數(shù)的Fourier級數(shù).206解是上的奇函數(shù),;.因此,～.例1設(shè)函數(shù)滿足條件(稱滿足該條件的函數(shù)為反周期函數(shù)).問這種函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的Fourier系數(shù)具有什么特性.解.而.因此,.時(shí),,;同理得.Ex

4、[1]P922，4，5，6.二.收斂定理:1.按段光滑函數(shù):.定義若的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則稱函數(shù)在區(qū)間上光滑.若函數(shù)在區(qū)間上至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),且僅在區(qū)間上有限個(gè)點(diǎn)處不連續(xù)且為第一類間斷點(diǎn),則稱是區(qū)間上的按段光滑函數(shù).按段光滑函數(shù)的性質(zhì):設(shè)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑,則206⑴在區(qū)間上可積;⑵對,都存在,且有,.(用Lagrange中值定理證明)⑶在區(qū)間上可積.2.收斂定理:Th3設(shè)函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)且在區(qū)間上按段光滑,則在,的Fourier級數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值,即,其中和為函數(shù)的Fourier系數(shù).(證明放到

5、以后進(jìn)行)系若是以為周期的連續(xù)函數(shù),在上按段光滑,且則的Fourier級數(shù)在內(nèi)收斂于.3.函數(shù)的周期延拓:二.展開舉例:例3把函數(shù)展開為Fourier級數(shù).解參閱例1,有例4展開函數(shù).206解;.函數(shù)在上連續(xù)且按段光滑,又,因此有.(倘令,就有,)例5設(shè)求函數(shù)的Fourier級數(shù)展開式.[1]P88E1.例6把函數(shù)展開成Fourier級數(shù).[1]P89E2例7在區(qū)間內(nèi)把函數(shù)展開成Fourier級數(shù).解法一(直接展開);;.206函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且按段光滑,因此有,.由于,該展開式在上成立.(在該展開式中,取得,;取,.)解法二(間接展開

6、:對例3中的展開式作積分運(yùn)算)由例3,在區(qū)間內(nèi)有.對該式兩端積分,由Fourier級數(shù)可逐項(xiàng)積分,有.為求得,上式兩端在上積分,有,因此,,.Ex[1]P921，3.206§2以為周期的函數(shù)的展開式（2時(shí)）一.以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù):設(shè)函數(shù)以為周期,在區(qū)間上(R)可積.作代換,則函數(shù)以為周期.由是線性函數(shù),在區(qū)間上(R)可積.函數(shù)的Fourier系數(shù)為..,,～還原為自變量,注意到,就有～其中,,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上按段光滑時(shí),可展開為Fourier級數(shù).註三角函數(shù)系是區(qū)間上的正交函數(shù)系統(tǒng).例1把函數(shù)展開成Fourier級數(shù).[1

7、]P94E1二.正弦級數(shù)和余弦級數(shù):1.區(qū)間上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級數(shù):2061.奇展開和偶展開:例1設(shè),.求的Fourier級數(shù)展開式.[1]P97E2例2把定義在上的函數(shù)(其中之一展開成正弦級數(shù).[1]P98E3例3把函數(shù)在內(nèi)展開成:ⅰ>正弦級數(shù);ⅱ>余弦級數(shù).[1]P99E4Ex[1]P1011⑴⑷，2，3，4.§3收斂定理的證明Dini定理設(shè)以為周期的函數(shù)在區(qū)間上按段光滑,則在每一點(diǎn),的Fourier級數(shù)收斂于在點(diǎn)的左、右極限的算術(shù)平均值,即,其中和為的Fourier系數(shù).證明思路:設(shè)～對每個(gè),我們要證明.即證明.方法

8、是把該極限表達(dá)式化為積分,利用Riemann—Lebesgue定理證明相應(yīng)積分的極限為零.206施證方案:1.寫出的簡縮形式.稱這一簡縮形式為的積分形式,或稱為Dirichlet積分,即.利用該表示式,式可