《函數(shù)的極值和最值》PPT課件

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1、第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.3函數(shù)的極值和最值1一、函數(shù)的極值及其求法1.定義：設(shè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)的有定義。如果對(duì)于這鄰域內(nèi)異于的恒有(1)則稱為的極大值.--極大值點(diǎn)(2)則稱為的極小值.--極小值點(diǎn)3.3函數(shù)的極值最值2極值極值點(diǎn)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值極小值3.3函數(shù)的極值最值3注1極值不一定是最值.注2函數(shù)的極大值和極小值是局部性概念，極小值不一定比極大值?。畼O值點(diǎn)處的切線平行于軸,但曲線上有水平切線的點(diǎn),不一定取得極值.如：3.3函數(shù)的極值最值42.駐點(diǎn):使成立的點(diǎn)定理設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且在處取得極值,那么,這函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn).3.3函數(shù)的極值最值5注1連續(xù)

2、但不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)注2駐點(diǎn)不一定極值點(diǎn)3.3函數(shù)的極值最值63.極值的第一種充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo),(1)如果當(dāng)取左側(cè)鄰近的值時(shí),當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí),那么,在點(diǎn)處取得極大值.+_(2)如果當(dāng)取左側(cè)鄰近的值時(shí),當(dāng)取右側(cè)鄰近的值時(shí),那么,在點(diǎn)處取得極小值.+_3.3函數(shù)的極值最值7求函數(shù)的極值及增減區(qū)間的步驟：（1）求函數(shù)的定義區(qū)間；（2）求出函數(shù)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（4）寫出結(jié)論。（3）上述點(diǎn)將f(x)的定義區(qū)間分成單調(diào)區(qū)間，列表討論；3.3函數(shù)的極值最值8++_極大值極小值例1求的極值.解定義域?yàn)?.3函數(shù)的極值最值9例2求的極值.解定義域?yàn)?_極大值使無(wú)意義的

3、點(diǎn)3.3函數(shù)的極值最值10例3求的極值.解定義域?yàn)榈檬篃o(wú)意義的點(diǎn)++_極大值極小值3.3函數(shù)的極值最值11例4求函數(shù)函數(shù)的定義區(qū)間解駐點(diǎn)：不可導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)-1，0，1劃分定義區(qū)間，列表討論。單減區(qū)間：?jiǎn)卧鰠^(qū)間：極小值；極大值：的極值及增減區(qū)間?！?+3.3函數(shù)的極值最值12第二充分條件設(shè)是函數(shù)的駐點(diǎn)且如果（或），則是例2求函數(shù)的極值．解因?yàn)?，因?yàn)樗詷O大值為所以極小值為．3.3函數(shù)的極值最值的極?。ù螅┲迭c(diǎn).13（1）當(dāng)函數(shù)有不可導(dǎo)點(diǎn)時(shí)，必須用第一注意：（2）當(dāng)函數(shù)常用第二種充分3.3函數(shù)的極值最值充分條件求極值；的計(jì)算不復(fù)雜時(shí)，通條件求極值。滿足定理3的條件且14練習(xí)1.如果函數(shù)在點(diǎn)的

4、某鄰域內(nèi)處處可微,且則函數(shù)必在點(diǎn)處取得極值.2.如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn),則該點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn).3.設(shè)分別是函數(shù)的極大值和極小值,則必有4.如果函數(shù)在點(diǎn)處取得極值,則曲線在點(diǎn)處必有平行于軸的切線.是非題:15函數(shù)的最值在駐點(diǎn)及端點(diǎn)處產(chǎn)生．二、最值16最值判別法：條件：在上連續(xù)，且至多在有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為０．方法：(1)在內(nèi)的駐點(diǎn)為(2)求駐點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值(3)比較駐點(diǎn)及端點(diǎn)的函數(shù)值，即得最大值和最小值．3.3函數(shù)的極值最值17例1求在上的最大值和最小值．解(1)令(2)(3)最大值最大值3.3函數(shù)的極值最值18例2鐵路線上ＡＢ段的距離為100km．工廠Ｃ距Ａ處為20km，ＡＣ

5、垂直于ＡＢ．為了運(yùn)輸需要，要在ＡＢ上線上選定一點(diǎn)Ｄ向工廠修筑一條公路．已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比為3:5．為了使貨物從供應(yīng)站Ｂ運(yùn)到工廠Ｃ的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)Ｄ點(diǎn)應(yīng)選在何處？ＡＢ100kmC20kmD鐵路運(yùn)費(fèi)／km:公路運(yùn)費(fèi)／km=3:5x3.3函數(shù)的極值最值19得km所以當(dāng)ＡＤ＝15km時(shí)，總運(yùn)費(fèi)最少．3.3函數(shù)的極值最值20例3甲船以20海里／小時(shí)的速度向東航行，正午時(shí)其正北面82海里處有乙船正以16海里／小時(shí)的速度向正南航行．問(wèn)兩船何時(shí)距離最近？ＮＳＷＥ設(shè)兩船經(jīng)過(guò)t小時(shí)距離最近．甲乙令得小時(shí)3.3函數(shù)的極值最值21在實(shí)際問(wèn)題中，往往根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義就可斷定函

6、數(shù)f(x)必有最大值或最小值．如果函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)有只有一個(gè)駐點(diǎn)，x0則不必討論f(x0)是不是極值，就可斷定函數(shù)f(x0)是最大值或最小值．3.3函數(shù)的極值最值22接受能力與講授時(shí)間的關(guān)系通過(guò)研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴于在概念引入之前老師提出和描述問(wèn)題所用時(shí)間．講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下式給出：其中是接受能力的一種度量，是提出概念所用時(shí)間（單位：min）．3.3函數(shù)的極值最值23問(wèn)題(1)x為何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？(2)第十分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增

7、長(zhǎng)還是注意力下降？(3)最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？(4)一個(gè)概念需要55的接受能力，它適于對(duì)這組學(xué)生講授嗎？3.3函數(shù)的極值最值24解令得+—所以當(dāng)提出概念所用的時(shí)間小于13分鐘，接受能力增強(qiáng)；當(dāng)提出概念所用的時(shí)間大于13分鐘時(shí)，接受能力降低。(1)x為何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？3.3函數(shù)的極值最值25單調(diào)上升，學(xué)生的興趣在增長(zhǎng)。在時(shí)，取極大值．所以最難的概念應(yīng)該提出問(wèn)題后的13分鐘講授．因?yàn)檫@個(gè)概念需要55的接受能力，這個(gè)概念需要55的接受能力，所