與點(diǎn)、線有關(guān)的對稱問題的求解策略

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1、與點(diǎn)、線有關(guān)的對稱問題的求解策略教學(xué)目標(biāo)：1.了解常見的對稱問題，如：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，點(diǎn)關(guān)于線對稱，線關(guān)于點(diǎn)對稱等。2.理解各種對稱的實質(zhì)，并能根據(jù)題目條件選擇正確的對稱方式。3.能利用對稱的知識解決一些實際問題。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：對稱問題的基本解法關(guān)于點(diǎn)、線的對稱問題，課本中沒有給出系統(tǒng)內(nèi)容，但是高考考察的熱點(diǎn)。所以，就此問題，結(jié)合圖形，根據(jù)對稱特點(diǎn)，找出規(guī)律給予總結(jié)十分必要。下面分類介紹一下常見題型及解題方法。教學(xué)過程：中心對稱1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱：實質(zhì)：該點(diǎn)是兩對稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)方法：利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式說明：（1

2、）點(diǎn)P(x,y)關(guān)于點(diǎn)A(a,b)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為P？(2a-x,2b-y).（2）點(diǎn)P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)O(0,0)的對稱點(diǎn)P？(-a,-b)；2．直線關(guān)于點(diǎn)的對稱實質(zhì)：兩直線平行方法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對稱問題（在l上找兩個特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）方法二：利用平行性質(zhì)解（求出一個對稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)出平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）例1：求直線關(guān)于點(diǎn)(1,0)的對稱的直線方程。軸對稱1、點(diǎn)關(guān)于直線的對稱實質(zhì)：軸（直線）是對稱點(diǎn)連線段的中垂線1）當(dāng)

3、直線斜率存在時方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)(x0,y0)關(guān)于直線Ax+By+c=0的對稱點(diǎn)(x？,y？)，則例2：求點(diǎn)A(-1,3)關(guān)于直線L：2x-y+3=0的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)解：設(shè)B坐標(biāo)(a,b)，則線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)，則，即B點(diǎn)坐標(biāo)。思考：當(dāng)直線斜率不存在呢？（可利用數(shù)形結(jié)合）評注：特別地，P(a,b)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-b);關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-a,b)；關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(b,a);關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(-b,-a

4、);31．直線關(guān)于直線的對稱1）當(dāng)與l相交時方法：此問題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對稱問題。例3：求直線:2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0的對稱直線的方程。解法1：由，得，即與l的交點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，-2）。在上取一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)B坐標(biāo)為(x,y),,即，解得，即點(diǎn)B。因為P，B在l上，可得方程2x+11y+16=0。二．應(yīng)用與提高探究1：(光線反射問題)有一條光線從點(diǎn)A(-2,1)射到直線l:x-y=0上后再反射到點(diǎn)B(3,4),求反射光線所在的直線方程思維點(diǎn)撥：由物理中光學(xué)知

5、識，入射光線和反射光線關(guān)于法線對稱轉(zhuǎn)化為對稱問題。方法：先求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A/的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A/和B確定反射光線的方程答案：7x-3y-13=0變式訓(xùn)練：一條光線經(jīng)過P(2,3)點(diǎn)，射在直線l：x+y+1=0上，反射后穿過點(diǎn)Q(1,1)（1）求入射光線所在的直線方程（2）求這條光線從P到Q的長度。探究2：直線2x+3y-6=0交x、y軸于A、B兩點(diǎn)，試在直線y=-x上求一點(diǎn)P1，使

6、P1A

7、+

8、P1B

9、最小評述：注意平面幾何的知識在解析幾何中的靈活運(yùn)用。變式訓(xùn)練：直線2x+3y-6=0交x、y軸于A、B

10、兩點(diǎn)，在y=x上求一點(diǎn)P2，使

11、

12、P2A

13、-

14、P2B

15、

16、最大。【思維點(diǎn)撥】：利用三角形兩邊之和大于第三邊或兩邊之差小于第三邊，解決在直線上求一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小或到兩定點(diǎn)距離之差為最大的問題。三．小結(jié)1．求點(diǎn)、線對稱問題的主要題型：1）求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(直線)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2）求直線關(guān)于點(diǎn)(直線)對稱的直線方程；3）對稱問題的重點(diǎn)是“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”和“點(diǎn)關(guān)于線”的對稱，掌握好這兩種對稱的解法，對于“直線關(guān)于點(diǎn)”，“直線關(guān)于直線”的對稱問題就迎刃而解了。2．?dāng)?shù)型結(jié)合的思想要有足夠的重視！四．連接練習(xí)：1、已知P(-1

17、,2)，M(1,3),直線l:y=2x+1，（1）求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)R坐標(biāo)；（2）求直線PM關(guān)于直線l的對稱的直線方程；2、已知A(-3,3)，B(5,1)，在x軸上求一點(diǎn)，使得

18、AP

19、+

20、BP

21、最小。參考答案31、解：（1）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)R坐標(biāo)(x,y)，,得。（2）的坐標(biāo)滿足直線l的方程，又點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為，則MR直線為所求的直線，方程為11x+2y-17=0.2、解：A(-3,3)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為，直線方程為;,由AB直線與x軸交點(diǎn)P(3,0)為所求。3