《導(dǎo)數(shù)和極限》PPT課件

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1、第二章導(dǎo)數(shù)與極限§2.1導(dǎo)數(shù)的概念§2.2極限§2.3函數(shù)的連續(xù)性§2.4導(dǎo)數(shù)的計(jì)算§2.5高階導(dǎo)數(shù)§2.1導(dǎo)數(shù)的概念1問題的引出2導(dǎo)數(shù)的定義3由定義求導(dǎo)數(shù)4導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義一、問題的提出----瞬時(shí)速度問題設(shè)作直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它的路程規(guī)律是s=s(t)，求它在任意時(shí)刻t0的速度v(t0).0S時(shí)間:路程:第一步第二步在這段時(shí)間間隔內(nèi)的平均速度最后切線問題播放切線問題割線的極限位置——切線位置如圖,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.極限位置即二、

2、導(dǎo)數(shù)的定義定義其它形式即★思考三、由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:例1例２四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義1.幾何意義切線方程為法線方程為2.物理意義在均勻情況下，凡是用除法定義的物理概念，在不均勻情況下，絕大多數(shù)是導(dǎo)數(shù)．均勻不均勻速度加速度電流強(qiáng)度線密度角速度★關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：五　小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):增量比的極限;2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;3.求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).§2.2極限1數(shù)列極限的定義2函數(shù)極限的定義§2.2.1數(shù)列的極限1數(shù)列的定義2數(shù)列極限的定義3數(shù)列極限的性質(zhì)一尺之棰，日取其半，萬

3、世不竭一根一尺長的木棒，每天拿去剩下的一半，卻永遠(yuǎn)拿不完。一、數(shù)列的定義例如注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動點(diǎn)在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)★有界性例如,有界無界★單調(diào)性單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列二、數(shù)列的極限問題:當(dāng)無限增大時(shí),是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：幾何解釋:數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于其本身.小結(jié):用定義

4、證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例3證例4證三、數(shù)列極限的性質(zhì)四則運(yùn)算法則★子數(shù)列注意：例如，定理1以下三個(gè)命題等價(jià)有一子列發(fā)散的數(shù)列必發(fā)散或兩個(gè)子列都收斂但收斂于不同值的數(shù)列也發(fā)散，例定理2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論無界數(shù)列必定發(fā)散.例§2.2.2函數(shù)極限的定義1自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限2自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限1自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限xyo問題:如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.記作幾何解釋:注意：單側(cè)極限

5、:例如,左極限右極限例2自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)的極限另兩種情形:幾何解釋:例函數(shù)極限的統(tǒng)一定義小結(jié)過程時(shí)刻從此時(shí)刻以后§2.2.3函數(shù)極限的性質(zhì)1唯一性2局部有界性3局部保序性4局部保號性2.有界性1.唯一性一函數(shù)極限的性質(zhì)注意：①這是極限存在的一個(gè)必要不充分條件。②可得又一個(gè)判斷極限不存在的方法：函數(shù)在某點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)無界，則在這點(diǎn)的極限必不存在。3.不等式性質(zhì)定理7(保序性)定理（比較區(qū)別）推論1(保號性)推論2§2.2.4無窮小與無窮大1無窮小的定義與性質(zhì)2無窮大的定義與性質(zhì)3無窮小與無窮

6、大的關(guān)系1、定義:極限為零的變量稱為無窮小.二無窮小與無窮大注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是唯一可以作為無窮小的常數(shù).性質(zhì)：無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);定義絕對值無限增大的變量稱為無窮大.2無窮大若，則稱函數(shù)f(x)為時(shí)的無窮大。特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.定理9在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無

7、窮大.3無窮小與無窮大的關(guān)系意義關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.性質(zhì):(1)若在x的某一變化過程中，f(x)是無窮大，g(x)是有界量，則f(x)+g(x)是無窮大。(2)若在x的某一變化過程中，f(x)是無窮大，g(x)滿足

8、g(x)

9、≥M(M>0),則f(x)g(x)是無窮大。§2.2.5極限的運(yùn)算法則A無窮小的運(yùn)算法則B極限的運(yùn)算法則C復(fù)合函數(shù)求極限的換元法D夾逼準(zhǔn)則A、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理10在同一過程中,有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小.定理11有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

10、推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.定理12B極限的運(yùn)算法則推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2小結(jié):解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例解例(消去零因子法)例解(無窮小因子分出法)小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.思考題在某個(gè)過程中，若有極限，無極限，那么是否有極限？為什么？極限不存在在某個(gè)過程中，若f(x)極限不存在，g(x