《曲線凹凸性》PPT課件

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1、第四節(jié)一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的漸近線曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第三章函數(shù)作圖三、函數(shù)作圖問題:如何研究曲線的彎曲方向?一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)如圖所示曲線弧,在區(qū)間(a,b)內(nèi)雖然一直上升,但卻有不同的彎曲狀況.弧是向上凹的,曲線在切線的上方,弧是向上凸的,曲線在切線的下方,而B是彎曲狀況的分界點(diǎn).定義1在區(qū)間(a,b)內(nèi),連續(xù)曲線如果曲線弧位于其任意一點(diǎn)切線的上方,則稱曲線弧在(a,b)內(nèi)是凹的(或凹弧),此區(qū)間(a,b)稱為凹區(qū)間;如果曲線弧位于其任意一點(diǎn)切線的下方,則稱曲線弧此區(qū)

2、間(a,b)稱為凸區(qū)間;在(a,b)內(nèi)是凸的(或凸弧),定義2y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn),稱為曲線y=f(x)的拐點(diǎn).定理2.(曲線凹凸性的判定定理)(1)若在(a,b)內(nèi)則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的;(2)若在(a,b)內(nèi)設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),那么一階導(dǎo)數(shù)判單調(diào)二階導(dǎo)數(shù)定凸凹若定理設(shè)函數(shù)則在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),回顧前面所學(xué)即則曲線y=f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的.例1.判定曲線的凹凸性.解:故曲線在內(nèi)是凸的.例2.判定曲線在(0,2π)內(nèi)的

3、凹凸性.解:令得當(dāng)時(shí)，曲線是凸的；當(dāng)時(shí)，曲線是凹的.點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn).例3.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點(diǎn)的定義及上述定理,可得求拐點(diǎn)的步驟如下:則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào),求拐點(diǎn)的步驟如下:(1)確定函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出使的點(diǎn)和不存在的點(diǎn);(3)對(duì)于(2)中求出的每個(gè)點(diǎn)x0,考察在點(diǎn)x0左、右兩側(cè)鄰近的符號(hào),如果兩側(cè)的符號(hào)相反,則點(diǎn)是拐點(diǎn);如果兩側(cè)的符號(hào)相同,則點(diǎn)不是拐點(diǎn).例4.求曲線的凹、凸區(qū)間與拐點(diǎn).解定義域：

4、不存在因此,曲線的拐點(diǎn)：凹區(qū)間:凹凸令得x=3,不存在的點(diǎn)為x=2,2凸30－4凹區(qū)間:凸區(qū)間:列表內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I上單調(diào)遞增在I上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點(diǎn)的判別+–拐點(diǎn)—連續(xù)曲線上的凹凸分界點(diǎn).1.曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點(diǎn)為提示:及作業(yè)P128：第一題;;思考與練習(xí)無漸近線.點(diǎn)M與某一直線L的距離趨于0,二、曲線的漸近線定義3若曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)M沿著曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),則稱直線L為曲線y=f(x)的漸近線.例如,雙曲線有漸近線但拋物線漸近線分為水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸

5、近線三種.定義4(1)若則稱直線y=b為曲線y=f(x)的一條水平漸近線.(2)若則稱直線x=x0為曲線y=f(x)的一條鉛直漸近線.(3)若則稱直線y=ax+b為曲線y=f(x)的一條斜漸近線.并由此可推得例5.求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為鉛直漸近線.該曲線無斜漸近線.例6.求曲線的漸近線.解:所以該曲線有鉛直漸近線又因?yàn)榍€的斜漸近線.所以該曲線沒有水平漸近線.一階導(dǎo)數(shù)判單調(diào)二階導(dǎo)數(shù)定凸凹三、函數(shù)作圖步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性等特性;2.求并求出及3.列表判別單調(diào)及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn)

6、;4.求漸近線;5.補(bǔ)充函數(shù)圖形上的若干特殊點(diǎn)為0和不存在的點(diǎn);并考察其奇偶性、周找出f(x)的間斷點(diǎn),6.綜合上述分析,描繪出函數(shù)的圖形.(如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等);例7.作函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)楹瘮?shù)無周期性,2)3)列表(拐點(diǎn)）(極小)4)曲線無漸近線為奇函數(shù),故只需作出區(qū)間[0,+∞)上的圖形.得得它的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以6)作圖5)特殊點(diǎn):曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為例8.作函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)?)又x=－3為f(x)的間斷點(diǎn).定義域內(nèi)無不存在的點(diǎn)和不存在的點(diǎn).3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))無

7、定義5)求特殊點(diǎn):為鉛直漸近線為水平漸近線無斜漸近線4)求漸近線曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為6）作圖例9.作函數(shù)的圖形.解:1)定義域?yàn)閳D形對(duì)稱于y軸.2)求關(guān)鍵點(diǎn)3)判別曲線形態(tài)(極大)(拐點(diǎn))(極大)(拐點(diǎn))為水平漸近線5)作圖4)求漸近線水平漸近線;鉛直漸近線;內(nèi)容小結(jié)1.曲線漸近線的求法斜漸近線按作圖步驟進(jìn)行.2.函數(shù)作圖思考與練習(xí)1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:拐點(diǎn)為,凸區(qū)間是,2.曲線的凹區(qū)間是,提示:及漸近線.P128：第

8、3題作業(yè)