示例2 測量山高問題

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1、示例2測量山高問題小明站在一個小山丘上，想要測量這個山丘的高度。他站在山邊，采取了最原始的方法：從小山丘向下丟了一小石子，5s后他聽到了從小山丘下傳來的回音。請各位嘗試建立數(shù)學(xué)模型估計小山丘的高度?！窘忸}思路】數(shù)學(xué)建模的初學(xué)者一看到這個問題也許會認(rèn)為數(shù)學(xué)建模并不是一件困難的事情，因為很多學(xué)生在高中時就遇到過這個問題。確實是這樣！這是一個比較簡單的實際問題（數(shù)學(xué)建模問題），大家很容易得到：運(yùn)用自由落體公式，可以計算出山的高度。也許有人會提出疑問：上述運(yùn)算是數(shù)學(xué)建模嗎，這樣數(shù)學(xué)建模不是很簡單嗎？是的，可以認(rèn)為這樣的運(yùn)算過程就是

2、數(shù)學(xué)建模。雖然上述理想的自由落體模型可以計算出山的高度，但計算所得到的結(jié)果可能存在較大的誤差。122.5m這個答案在高中考試中應(yīng)該是一個標(biāo)準(zhǔn)答案，不會認(rèn)為這個答案是錯誤的。但是測量隊在測量山高時絕對不會采用上述計算得到的結(jié)果。那么在這個問題中我們還需要考慮哪些因素？例如人的反應(yīng)時間，在現(xiàn)實中這是一個需要考慮的因素。通過查找資料（查閱資料在數(shù)學(xué)建模中極其重要，也是現(xiàn)代大學(xué)生必須具備的基本素質(zhì)），可以知道人的反應(yīng)時間約為0.1s左右，那么計算式子在結(jié)果上能夠得到改善：數(shù)學(xué)建模競賽是一種開放性的比賽，競賽過程中允許查找相關(guān)資料來

3、幫助求解。通過上面的分析可以發(fā)現(xiàn)117.649m比122.5m更加接近實際情況。相比理想的自由落體模型，以上的數(shù)學(xué)建模過程可以稱為修正的自由落體模型。一個優(yōu)秀的隊伍往往能夠做得更多！在考慮人的反應(yīng)時間這一因素后，還有沒有其他因素需要考慮，例如空氣阻力？各位有了這樣的思維外，還擁有微積分這一解題工具。通過查閱相關(guān)資料，可以發(fā)現(xiàn)石頭所受空氣阻力和速度成正比，阻力系數(shù)與質(zhì)量之比為0.2。由此我們又可以建立以下微分方程模型：解微分方程得：積分得：算法1：%實現(xiàn)微分方程求解symsgmkdsolve('Dv=g-k*v/m','t'

4、)算法2：int('9.8/0.2*(1-exp(-0.2*t))',0,4.9)通過以上計算可以發(fā)現(xiàn)，計算結(jié)果得到了很大改善，理想自由落體模型計算方法等到的山高122.5m的確存在著較大的誤差。如果用心，大家可以做的更好。在實際生活中，回音傳播時間是另一個不可忽略的因素。因此我們在上述模型的基礎(chǔ)上引入回音傳播時間，對模型進(jìn)行如下修改：得：在這個例題中，先后呈現(xiàn)了四種不同的解題方法，也可以說四種不同的數(shù)學(xué)模型。希望大家能夠通過這個例子體會到數(shù)學(xué)模型的真諦：能夠解決問題的方法就是數(shù)學(xué)模型，其本身沒有對錯之分，以上四種模型計算

5、得到的答案應(yīng)該說都是正確的，但是其本身有優(yōu)劣之分，問題在于思考的角度。它是一種新的思維方法，從上面的例子可以得到，數(shù)學(xué)模型往往是以下兩個方面的權(quán)衡：1.數(shù)學(xué)建模是用以解決實際問題的，所建立的模型不能太理想、太簡單，過于理想化的模型往往脫離實際情況，這就違背了建模的目的；2.數(shù)學(xué)建模必須是以能夠求解為前提的，建立的模型一定要能夠求出解，所建立的模型不能過于實際，過于實際的模型往往難以求解，因此作適當(dāng)?shù)暮喕僭O(shè)是十分重要的。