聲波方程有限差分法數(shù)值模擬

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1、聲波方程有限差分法數(shù)值模擬學(xué)院：海洋地球科學(xué)學(xué)院專業(yè)：地球信息科學(xué)與技術(shù)年級：2012級姓名：王昊指導(dǎo)教師：宋鵬聲波方程有限差分法數(shù)值模擬2012級地球信息科學(xué)與技術(shù)12040032037王昊摘要：本實(shí)驗(yàn)應(yīng)用聲波方程作為正演模擬的波動方程，將所提供震源函數(shù)離散后繪圖，并將給定兩個二維速度-深度模型（一個小模型；一個大模型），繪出圖形。通過模擬地震波在介質(zhì)中的傳播，理解實(shí)際勘探中地震波在地層中的傳播規(guī)律，在模擬水平層狀速度模型中，體會地震波在兩種介質(zhì)分界面的傳播規(guī)律，并能夠從地震記錄中識別出反射波，透射波，多次波，折射波和繞射波。

2、并通過模擬人工合成的地震記錄，體會地震勘探基本原理和方法，驗(yàn)證地震波傳播能量波形變化趨勢。關(guān)鍵詞：聲波方程數(shù)值模擬地震波有限差分引言：地震波場模擬即地震正演，是指已知模型結(jié)構(gòu)，通過物理或數(shù)值計算的方法模擬該地質(zhì)結(jié)構(gòu)下的地震波的傳播，最終合成地震記錄，也可以認(rèn)為其是野外數(shù)據(jù)采集過程的室內(nèi)再現(xiàn)。物理模擬花費(fèi)昂貴，人們一般采用比較經(jīng)濟(jì)的數(shù)值模擬技術(shù)。地震波場數(shù)值模擬是在給定數(shù)學(xué)模型（如彈性波方程，聲波方程等）、震源和地下幾何界面、物性參數(shù)（巖層密度、速度等）情況下，研究彈性波或聲波的傳播規(guī)律。地震波波動方程數(shù)值模擬方法主要包括克?；舴?/p>

3、積分法、傅里葉變換法、有限元法和有限差分法等。相對于上述幾種方法，有限差分法是一種更為快速有效的方法。雖然其精度比不上有限元法，但因其具有計算速度快，占用內(nèi)存較小的優(yōu)點(diǎn)，在地震學(xué)界受到廣泛的重視與應(yīng)用。本實(shí)驗(yàn)給定大小兩個模型，對于小模型，整個區(qū)域的速度值可設(shè)為常數(shù)，即只有一種介質(zhì)，將震源點(diǎn)放在模型中間，分別記錄兩個時刻的波前快照（即該時刻區(qū)域內(nèi)所有網(wǎng)格點(diǎn)的波場值）。第一時刻為地震波還未傳播到邊界上的某時刻，第二時刻為地震波已經(jīng)傳播到邊界上的某時刻，體會其人工邊界反射；對于大模型，定義為水平層狀速度模型（至少兩層）；做兩個實(shí)驗(yàn)，一

4、是將震源點(diǎn)放在區(qū)域表層任一點(diǎn)，記錄下某些時刻的波前快照，體會地震波在兩種介質(zhì)的分界面上傳播規(guī)律；二是合成一個地震記錄，即記錄下與震源同一深度點(diǎn)的各點(diǎn)所有時刻的波場值，并指出記錄上的同向軸分別對應(yīng)哪些波。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：對于二維速度-深度模型，地下介質(zhì)中地震波的傳播規(guī)律可以近似地用聲波方程描述：222?u2?u?u?v(?)?S(t)（1）222?t?x?z其中v(x,z)是介質(zhì)在點(diǎn)(x,z)處的縱波速度，本實(shí)驗(yàn)中v為常數(shù)2500，u為描述速度位或者壓力的波場，s(t)為震源函數(shù)，本實(shí)驗(yàn)選用雷克子波（零相位子波）(?2?/?)22s(t

5、)?eftcos2?ft上式中，t為時間，fm為中心頻率，一般取為20-40HZ，本實(shí)驗(yàn)取20，γ為控制頻帶寬度的參數(shù)，一般取3-5,這里取4，在實(shí)際計算過程中，需把此震源函數(shù)離散，參與波場計算。由圖像可知子波能量主要集中在前部，大致上t>35的時候S(t)都為零值，故在繪制S(t)圖像時k取100，來比較清晰得呈現(xiàn)雷克子波。本實(shí)驗(yàn)不涉及吸收邊界條件的使用。這樣聲波方程數(shù)值模擬所需的（1）震源函數(shù)（2）地層速度（波速）（3）邊界條件均定義完全。為求（1）式的數(shù)值解，必須將此式離散化（包括時間離散和空間離散，這里dt取0.002，

6、dh取4，即用有限差分來逼近導(dǎo)數(shù)，用差商代替微商。為此，先把空間模型網(wǎng)格化，得到橫向上x=i*dh,縱向上uk圖1z=j*dh,t=n*dt，k時刻(i,j)點(diǎn)的波場值為i,j。實(shí)驗(yàn)中波場本應(yīng)定義三維數(shù)組，但考慮到內(nèi)存問題，將其定義為二維數(shù)組，采用循環(huán)交換賦值實(shí)現(xiàn)三維數(shù)組的功能，這里利用泰勒展式，展到二階略去高階小量，整理得(i,j)點(diǎn)k時刻的二階時間微商，對于空間微分，采用四階精度差分格式分別在(i,j)點(diǎn)k時刻展開到四階小量，消除四階小量并解出二階微分，由時間和空間的二階微商整理得到波場值。22k?1kk?1v?t1kk4k

7、k5kui,j?2ui,j?ui,j?2{?[ui?2,j?ui?2,j]?[ui?1,j?ui?1,j]?ui,j}?h123222v?t1kk4kk5k?{?[u?u]?[u?u]?u}2i,j?2i,j?2i,j?1i,j?1i,j?h1232?s(t)*?(i?i)*?(j?j)（2）00一般來講，差分時差分格式階數(shù)越高，得到的波場值精度越高，但穩(wěn)定性會受影響，差分格式的穩(wěn)定性不僅與差分格式本身有關(guān)，也隨著差分精度的不同而不同，而且與網(wǎng)格步長之比的大小有關(guān)，值得指出3v*?t/?h?max的是差分格式的穩(wěn)定性與微分方程無

8、關(guān)，本實(shí)驗(yàn)所采用的（2）式為條件穩(wěn)定，穩(wěn)定條件：8，（2）式由差分方程近似替代微分方程所得，所以如果空間和時間采樣間隔不當(dāng)，就會產(chǎn)生頻散現(xiàn)象，導(dǎo)致?h?v/(Gf)波形畸變，甚至派生出多個同相軸，為減少頻散，Δh需滿足Dablain的經(jīng)驗(yàn)公式：minN??為Ny