偏微分方程數(shù)值解-雙曲線方程的有限差分法

《偏微分方程數(shù)值解-雙曲線方程的有限差分法》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、雙曲型方程的有限差分法線性雙曲型方程定解問(wèn)題：（a）一階線性雙曲型方程（b）一階常系數(shù)線性雙曲型方程組其中，階常數(shù)方程方陣，為未知向量函數(shù)。（c）二階線性雙曲型方程（波動(dòng)方程）為非負(fù)函數(shù)（d）二維，三維空間變量的波動(dòng)方程§1波動(dòng)方程的差分逼近1.1波動(dòng)方程及其特征線性雙曲型偏微方程的最簡(jiǎn)單模型是一維波動(dòng)方程：（1.1）其中是常數(shù)。（1.1）可表示為：，進(jìn)一步有由于當(dāng)時(shí)為的全導(dǎo)數(shù)（）,故由此定出兩個(gè)方向（1.3）解常微分方程（1.3）得到兩族直線（1．4）和稱其為特征。特征在研究波動(dòng)方程的各種定解問(wèn)題時(shí)，起著非常重要的作用。比如，我們可通過(guò)特征給出（1.1）的通解。（行波

2、法、特征線法）將（1.4）視為與之間的變量替換。由復(fù)合函數(shù)的微分法則同理可得，將和代入（1.1）可得：即有求其對(duì)的積分得：其中是的任意可微函數(shù)。再求其對(duì)的積分得：（1.5）其中和均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。（1.5）為（1.1）的通解，即包含兩個(gè)任意函數(shù)的解。為了確定函數(shù)和的具體形式，給定在軸的初值（1.5）將（1.5）式代入上式，則有（?。┳⒁?；，有（ⅱ）并對(duì)積分一次，得與（?。┦铰?lián)立求解，得將其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）條件下的解：（1.6）即為法國(guó)數(shù)學(xué)家JeanLeRondd’Alembert(1717-1783)提出的著名的D’Alembert公式

3、。由D’Alembert公式還可以導(dǎo)出解的穩(wěn)定性，即當(dāng)初始條件（1.5）僅有微小的誤差時(shí)，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件：滿足，，則+即顯然，當(dāng)有限時(shí)，解是穩(wěn)定的。此外，由D’Alembert公式可以看出，解在點(diǎn)，的值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始值，，與其他點(diǎn)上的初始條件無(wú)關(guān)。故稱區(qū)間為點(diǎn)的依存域。它是過(guò)點(diǎn)的兩條斜率分別為的直線在軸上截得的區(qū)間。對(duì)于初始軸上的區(qū)間，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線；過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線。它們和區(qū)間一起構(gòu)成一個(gè)三角區(qū)域。此三角區(qū)域中任意點(diǎn)的依存區(qū)間都落在內(nèi)部。所以解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件確定，而與區(qū)間外的初始條件無(wú)關(guān)。這個(gè)三角形

4、區(qū)域稱為區(qū)間的決定域。在上給定初始條件，就可以在其決定域中確定初值問(wèn)題的解。1.2顯格式現(xiàn)在構(gòu)造（1.1）的差分逼近。取空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)，用兩族平行直線，，，作矩形網(wǎng)絡(luò)。于網(wǎng)點(diǎn)處Taylor展開(kāi)成代入（1.1）,并略去截?cái)嗾`差，則得差分格式：（1.7），這里表示于網(wǎng)點(diǎn)處的近似值。初值條件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8）（1.9）注意：（1.7）的截?cái)嗾`差階是，而（1.9）的截?cái)嗾`差階僅是。為此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替，即（1.10）為了處理，在（1.7）中令，得進(jìn)一步，其中。并用（1.10）式的代入上式得即（1.11）這樣，利用（1.8）(1

5、.11)，可以由初始層的已知值，算出第一層各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。然后利用（1.7）或顯式三層格式（1.12）可以逐層求出任意網(wǎng)點(diǎn)值。以上顯式三層格式也可用于求解混合問(wèn)題：（1.13）取，。除（1.7）～（1.9）外。再補(bǔ)充邊值條件（1.14），1．3穩(wěn)定性分析下面我們要討論（1.7）的穩(wěn)定性。為引用Fourier方法，我們把波動(dòng)方程（1.1）化成一階偏微分方程組，相應(yīng)地把顯式三層格式（1.7）化成二層格式。一種簡(jiǎn)單的做法是引進(jìn)變量，于是（1.1）化為，這樣會(huì)使得初值與不適定（不唯一），更合理的方法是再引進(jìn)一個(gè)變量，將(1.1)化為（1.15），，注意到：；若令，，則(1.5

6、)可寫(xiě)成(1.16)相應(yīng)地，將（1.7）寫(xiě)成等價(jià)的雙層格式：(1.17)即其中，?？芍苯域?yàn)證之。記為網(wǎng)比。用Fourier方法可以證明，差分方程(1.17)穩(wěn)定的必要條件是網(wǎng)比（1.19）。充分條件是網(wǎng)比（1.19）。Courant等證明，時(shí)，差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑的初值。習(xí)慣上也稱為Courant條件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）條件。穩(wěn)定性條件（1.19）有直觀的幾何解釋。從方程（1.12）可看出，依賴于前兩層的值：，，，，而這四個(gè)值由依賴于，依賴于：，，，依賴于：，，，依賴于：，，，依賴于：，，以此類推，可知，最終依賴于

7、初始層上的下列值：，，…，，…，，因此，稱軸上含于區(qū)間的網(wǎng)點(diǎn)為差分解的依存域，它是軸上被過(guò)和以及和的兩條直線所切割下來(lái)的區(qū)間所覆蓋的網(wǎng)域。而過(guò)的兩條特征線為：。差分格式穩(wěn)定的必要條件為：或，并且進(jìn)而?？梢?jiàn)差分格式穩(wěn)定的必要條件是：差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域，否則差分格式不穩(wěn)定。用依存域的概念容易證明：當(dāng)時(shí)，差分解不收斂。1.4隱式為了得到絕對(duì)穩(wěn)定的差分格式，用第層、層、層的中心差商的加權(quán)平均去逼近得到下列差分格式：或其中是參數(shù)。可以證明，對(duì)于時(shí)，差分格式絕對(duì)穩(wěn)定；時(shí)，差分格式的充要條件是：。當(dāng)就是顯格式（1.7），一個(gè)常用的