矩陣的特征值與特征向量定

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1、第五章矩陣的特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量§5.2相似矩陣與矩陣可對(duì)角化條件§5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系1一、特征值與特征向量定義三、矩陣的跡二、特征值與特征向量求法§5.1矩陣的特征值與特征向量中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系2定義5.1若存在常數(shù)及非零向量一、特征值與特征向量定義中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系3說明中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系4稱二、特征值與特征向量的計(jì)算方法中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系5定理5.1設(shè)Ａ是n階矩陣，則　是Ａ的特征值，　是Ａ的屬于　的特征向量證明中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信

2、息學(xué)院信息系6中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系7求矩陣特征值與特征向量的步驟：中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系8例1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時(shí),解方程由中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系9得基礎(chǔ)解系全部特征向量為當(dāng)時(shí),解方程由得基礎(chǔ)解系全部特征向量為二重根中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系10例2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時(shí),解方程組得基礎(chǔ)解系全部特征向量為中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系11當(dāng)時(shí),解方程得基礎(chǔ)解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征根的重?cái)?shù)與其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個(gè)數(shù).二重根中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系1

3、2例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設(shè)兩邊左乘矩陣,得由此可得因?yàn)樗杂械弥心县?cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系13例４證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系14中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系15矩陣的特征值與其特征多項(xiàng)式的關(guān)系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系16中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系17特點(diǎn)則有：中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系18性質(zhì)：中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系19中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系20課堂練習(xí)中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

4、21（答：2，-2，0.）中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系22一、相似矩陣概念二、相似矩陣基本性質(zhì)三、矩陣可對(duì)角化的條件§5.2相似矩陣與矩陣可對(duì)角化條件中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系23設(shè)都是階方陣,若有可逆矩陣使則稱與是相似的,或說一、相似矩陣概念中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系24中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系25相似是一種等價(jià)關(guān)系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系26(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式.(5)相似矩陣有相同的特征值.二、相似矩陣基本性質(zhì)(6)相似矩

5、陣的逆矩陣仍相似(設(shè)兩者都可逆).(7)相似矩陣的冪仍相似.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系27證明設(shè)矩陣A與B相似,即有P-1AP=B(1)(2)顯然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值與跡的關(guān)系可得.(6)(7)由相似的定義可得.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系28例1已知與相似,求x,y.解因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤奶卣髦?故A與B有相同的特征值2,y,-1.根據(jù)特征方程根與系數(shù)的關(guān)系,有：而故x=0,y=1.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系29課堂練習(xí)中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系30所謂方陣可以對(duì)角化,是指即存在可逆矩陣使成立.定

6、理5.2階方陣可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.三、矩陣可對(duì)角化的條件中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系31證明設(shè)即是的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量.又因可逆,故線性無關(guān).得到中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系32設(shè)線性無關(guān).記則因線性無關(guān),故可逆,即可對(duì)角化.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系33定理5.3中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系34中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系35中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系36證明則即類推之，有中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系37把上列各式合寫成矩陣形式，得中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系38定理5.4對(duì)一重特征值來說,相應(yīng)地只有一個(gè)

7、線性無關(guān)的特征向量對(duì)k重特征值來說,相應(yīng)地線性無關(guān)的特征向量不會(huì)超過k個(gè)中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系39(證明略)定理5.5推論屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系40定理5.6(充分條件)若A的n個(gè)特征值互不相等,則A與對(duì)角陣相似(可對(duì)角化).如教材§5.1例3，P169注意：逆不成立,即與對(duì)角陣相似的矩陣,特征值不一定互不相等.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系41例1判斷下列實(shí)矩陣能否化為對(duì)角陣？解中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系42解之得基礎(chǔ)解系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系43求得基礎(chǔ)解系中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信

8、息學(xué)院信息系44解之得基礎(chǔ)解系故不能化為對(duì)角矩陣.中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系45A能否對(duì)角化？若能對(duì)角化,試求出可逆矩陣P例2解中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系4