矩陣的特征值與特征向量定.ppt

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1、第五章矩陣的特征值與特征向量§5.1矩陣的特征值與特征向量§5.2相似矩陣與矩陣可對角化條件§5.3實對稱矩陣的對角化中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系1一、特征值與特征向量定義三、矩陣的跡二、特征值與特征向量求法§5.1矩陣的特征值與特征向量中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系2定義5.1若存在常數(shù)及非零向量一、特征值與特征向量定義中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系3說明中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系4稱二、特征值與特征向量的計算方法中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系5定理5.1設Ａ是n階矩陣，則　是Ａ的特征值，　是Ａ的屬于　的特征向量證明中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系6中南財經(jīng)政法

2、大學信息學院信息系7求矩陣特征值與特征向量的步驟：中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系8例1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程由中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系9得基礎解系全部特征向量為當時,解方程由得基礎解系全部特征向量為二重根中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系10例2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當時,解方程組得基礎解系全部特征向量為中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系11當時,解方程得基礎解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征根的重數(shù)與其對應的線性無關特征向量的個數(shù).二重根中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系12例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只

3、能是0或1.證明設兩邊左乘矩陣,得由此可得因為所以有得中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系13例４證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系14中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系15矩陣的特征值與其特征多項式的關系中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系16中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系17特點則有：中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系18性質：中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系19中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系20課堂練習中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系21（答：2，-2，0.）中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系22一、相似矩陣概念二

4、、相似矩陣基本性質三、矩陣可對角化的條件§5.2相似矩陣與矩陣可對角化條件中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系23設都是階方陣,若有可逆矩陣使則稱與是相似的,或說一、相似矩陣概念中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系24中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系25相似是一種等價關系中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系26(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項式.(5)相似矩陣有相同的特征值.二、相似矩陣基本性質(6)相似矩陣的逆矩陣仍相似(設兩者都可逆).(7)相似矩陣的冪仍相似.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系27證明設矩陣

5、A與B相似,即有P-1AP=B(1)(2)顯然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及特征值與跡的關系可得.(6)(7)由相似的定義可得.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系28例1已知與相似,求x,y.解因為相似矩陣有相同的特征值,故A與B有相同的特征值2,y,-1.根據(jù)特征方程根與系數(shù)的關系,有：而故x=0,y=1.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系29課堂練習中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系30所謂方陣可以對角化,是指即存在可逆矩陣使成立.定理5.2階方陣可對角化有個線性無關的特征向量.三、矩陣可對角化的條件中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系31證明設即是的對應于特征值的特

6、征向量.又因可逆,故線性無關.得到中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系32設線性無關.記則因線性無關,故可逆,即可對角化.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系33定理5.3中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系34中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系35中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系36證明則即類推之，有中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系37把上列各式合寫成矩陣形式，得中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系38定理5.4對一重特征值來說,相應地只有一個線性無關的特征向量對k重特征值來說,相應地線性無關的特征向量不會超過k個中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系39(證明略)定理5.5推論屬于不同特征值的特征向量是

7、線性無關的中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系40定理5.6(充分條件)若A的n個特征值互不相等,則A與對角陣相似(可對角化).如教材§5.1例3，P169注意：逆不成立,即與對角陣相似的矩陣,特征值不一定互不相等.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系41例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系42解之得基礎解系中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系43求得基礎解系中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系44解之得基礎解系故不能化為對角矩陣.中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系45A能否對角化？若能對角化,試求出可逆矩陣P例2解中南財經(jīng)政法大學信息學院信息系4