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1、二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式2.3.3一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用—應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒(Taylor)公式特點:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應用中已知近似公式:x的一次多項式不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.要求:故則2.誤差估計令(稱為余項),則有公式①稱為的n階泰勒公式.公式②稱為n階泰勒公式的拉格朗日余項.泰勒中值定理:階的導數(shù),時,有①其中②則當公式③稱為n階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項.在不需要余項的精確表達式時,泰勒公式可寫為注意到③④特例:(1)當n=0時,泰勒公式變?yōu)?2)當n=1時,泰勒公式
2、變?yōu)榫褪抢窭嗜罩兄刀ɡ砜梢娬`差稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計式若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個常見函數(shù)的麥克勞林公式其中其中類似可得其中其中已知其中類似可得三、泰勒公式的應用1.在近似計算中的應用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.已知例1.計算無理數(shù)e的近似值,使誤差不超過解:令x=1,得由于欲使由計算可知當n=9時上式成立,因此的麥克勞林公式為2.利用泰勒公式求極限解3.利用泰勒公式證明不等式例3.證明證:內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項當時為麥克勞林公式.2.常用函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應用(1)近似
3、計算(3)其他應用求極限,證明不等式等.(2)利用多項式逼近函數(shù),42246420246泰勒多項式逼近42246420246泰勒多項式逼近泰勒(1685–1731)英國數(shù)學家,他早期是牛頓學派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機幾何學》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).由題設對證:備用題1.有且下式減上式,得令兩
4、邊同乘n!=整數(shù)+假設e為有理數(shù)(p,q為正整數(shù)),則當時,等式左邊為整數(shù);矛盾!2.證明e為無理數(shù).證:時,當故e為無理數(shù).等式右邊不可能為整數(shù).
