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1、第三節(jié)—應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒(Taylor)公式第三章一、問(wèn)題的提出三、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式四、泰勒公式的應(yīng)用二、Pn和Rn的確定一、問(wèn)題的提出特點(diǎn):以直代曲x的一次多項(xiàng)式不足:1、精確度不高；2、誤差不能估計(jì).問(wèn)題:需要解決的問(wèn)題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來(lái)越好1.若在點(diǎn)相交多項(xiàng)式逼近1.求n次近似多項(xiàng)式要求:故令則2.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),則有泰勒(Taylor)中值定理階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有其中則當(dāng)稱為按的冪展開的n階泰勒公式皮亞諾型余項(xiàng)兩種余項(xiàng)形式
2、：拉格朗日型余項(xiàng)因此，泰勒中值定理是拉格郎日中值定理的推廣.其中泰勒公式變成較簡(jiǎn)單的形式，即所謂的麥克勞林公式：或三、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中其中類似可得其中其中其中類似可得已知常用函數(shù)的含皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式四、泰勒公式的應(yīng)用1.在近似計(jì)算中的應(yīng)用誤差M為在包含0,x的某區(qū)間上的上界.需解問(wèn)題的類型:1)已知x和誤差限,要求確定項(xiàng)數(shù)n;2)已知項(xiàng)數(shù)n和x,計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3)已知項(xiàng)數(shù)n和誤差限,確定公式中x的適用范圍.已知例1.計(jì)算無(wú)理數(shù)e的近似值,使誤差不超過(guò)解:令x=1,得由計(jì)算可知當(dāng)n=9時(shí)上式成立,因此的麥
3、克勞林公式為由于欲使解2.利用泰勒公式求極限3.利用泰勒公式證明不等式例3.證明證:內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式.2.常用函數(shù)的麥克勞林公式3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),泰勒(1685–1731)英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.麥克勞林(1698–1746)英國(guó)數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)
4、《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級(jí)數(shù).sinx的Tailoy多項(xiàng)式對(duì)sinx的近似情況：n=1時(shí)：sinx的Tailoy多項(xiàng)式對(duì)sinx的近似情況：n=3時(shí)：sinx的Tailoy多項(xiàng)式對(duì)sinx的近似情況：n=5時(shí)：sinx的Tailoy多項(xiàng)式對(duì)sinx的近似情況：n=11時(shí)：
