軌跡方程的求解

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1、數(shù)海沖浪---軌跡方程的求法軌跡方程求法探究求軌跡方程的方法有多種,常用的有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法,向量法,待定系數(shù)法和交軌法.一、直接法:直接將條件翻譯成等式,整理化簡后即得動點的軌跡方程,這種求軌跡方程的方法通常叫做直接法.例1.一動點與原點的邊線的斜率等于這個動點與原點的距離,求此動點軌跡方程。解析:設P(x,y),則,都可表示出來,從而據(jù)題設可求得動點的軌跡方程。解:設動點P(x,y),則,,據(jù)題意可得:兩邊平方化簡得:(xy>o)故所求得動點的軌跡方程為(xy>o)變式:已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于

2、4,求點P的軌跡方程。解:設點P的坐標為(x,y),則由題意可得。(1)當x≤3時,方程變?yōu)?,化簡得。?)當x>3時,方程變?yōu)?,化簡得。故所求的點P的軌跡方程是或。二、定義法:如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義,則可利用曲線的定義寫出方程,這種求軌跡方程的方法叫做定義法.例2已知圓的圓心為M1,圓的圓心為M2,一動圓與這兩個圓外切,求動圓圓心P的軌跡方程。解:設動圓的半徑為R,由兩圓外切的條件可得:,。?!鄤訄A圓心P的軌跡是以M1、M2為焦點的雙曲線的右支,c=4,a=2,b2=12。故所求軌跡方程為。例3、動圓M與圓C1:(x+

3、1)2+y2=36內切,與圓C2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析:作圖時,要注意相切時的“圖形特征”:兩個圓心與切點這三點共線(如圖中的A、M、C共線,B、D、M共線)。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”(如圖中的9數(shù)海沖浪---軌跡方程的求法)。解:如圖,,∴∴(*)∴點M的軌跡為橢圓,2a=8,a=4,c=1,b2=15軌跡方程為點評:得到方程(*)后,應直接利用橢圓的定義寫出方程,而無需再用距離公式列式求解,即列出,再移項,平方,…相當于將橢圓標準方程推導了一遍,較繁瑣!例4、△ABC中,B(-5,0),C(5

4、,0),且sinC-sinB=sinA,求點A的軌跡方程。分析:由于sinA、sinB、sinC的關系為一次齊次式,兩邊乘以2R(R為外接圓半徑),可轉化為邊長的關系。解:sinC-sinB=sinA2RsinC-2RsinB=·2RsinA∴即(*)∴點A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點)∵2a=6,2c=10∴a=3,c=5,b=4所求軌跡方程為(x>3)點評:要注意利用定義直接解題,這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)練習:1、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1,則P點的軌跡方程是()A、y2=-16x

5、B、y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x解:C點P到F與到x+4=0等距離,P點軌跡為拋物線p=8開口向右,則方程為y2=16x,選C2、已知△ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列,且,點B、C的坐標分別為(-1,0),(1,0),則頂點A的軌跡方程是()A、B、C、D、9數(shù)海沖浪---軌跡方程的求法2、D∵,且∵點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點不共線,即y≠0,故選D。3、過原點的橢圓的一個焦點為F(1,0),其長軸長為4,則橢圓中心的軌跡方程是()A、B、C、D、4、A設中心為(x,y),則另一焦點為

6、(2x-1,2y),則原點到兩焦點距離和為4得,∴①又c

7、2x2得,軌跡方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)設A(x1,y1),B(x2,y2),AB中點M(x,y),則∵,∴,即y2=x+2又弦中點在已知拋物線內P,即y2<2x,即x+2<2x,∴x>23.代入法:用動點Q的坐標x,y表示相關點P的坐標x0、y0,然后代入點P的坐標(x0,y0)所滿足的曲線方程,整理化簡便得到動點Q軌跡方程,這種求軌跡方程的方法叫做相關點法.例3.已知A(2,0),B,點C在直線上移動,求ABC重心G的軌跡方程。分析:重心G的運動是由點C在直線上運動引起的,因而設G(x,y),再用表示出點C的坐標,就可以建立

8、起點G的軌跡方程。解:設G(x,y),C∵G是ABC的重心,且A(2,0),B,9數(shù)海沖浪---軌跡方程的求法∴即又C在直線上∴,即化簡得①∵A(2,0),B,共線

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