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《維勢場中能量本征態(tài)的一般性質(zhì)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、量子力學光電子科學與工程學院王可嘉第五講一維勢場中能量本征態(tài)的一般性質(zhì)有限深對稱方勢阱中的束縛態(tài)1第5講目錄一、再論正交、歸一、完備態(tài)二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)三、有限深對稱方勢阱中的束縛態(tài)2一、再論正交、歸一、完備態(tài)（1）態(tài)疊加原理：任意量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)矢量來分解，即：3一、再論正交、歸一、完備態(tài)（2）以一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)為例：由由傅里葉級數(shù)可知：在內(nèi)，任意奇函數(shù)可展開為：完備4一、再論正交、歸一、完備態(tài)（3）數(shù)學上：為完備性。物理上：是無限深方勢阱中的波函數(shù)，為態(tài)疊加原理的體現(xiàn)。由能量本征方程確定，構(gòu)成了體
2、系的基矢量。如何確定？5一、再論正交、歸一、完備態(tài)（4）證明：由其中：6一、再論正交、歸一、完備態(tài)（5）處于諧振子勢中的粒子，由能量本征方程確定的分立波函數(shù)：構(gòu)成一組正交、歸一、完備的基矢。這是由的正交、歸一性得到的。可以證明：具有完備性，即可將任意函數(shù)用展開：即：根據(jù)態(tài)疊加原理：就是粒子在諧振勢下的態(tài)。7一、再論正交、歸一、完備態(tài)（6）結(jié)論：由能量本征方程解出的，通常被稱為態(tài)矢量，也稱基矢，它們是正交、歸一、完備的。無論在無限深方勢阱還是諧振子中，粒子的量子態(tài)都可以用這一組正交、歸一、完備的基矢展開：其中展開系數(shù)：粒子處于某一態(tài)矢的概率為：同時要注意：
3、也是粒子具有態(tài)矢對應(yīng)的能量的概率。8二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(1)1、定態(tài)：薛定諤方程：若不顯含，則有若已知時體系處于某一個能量本征態(tài)，則在后，體系狀態(tài)為通常稱這樣的態(tài)為定態(tài)。由定態(tài)描述的粒子狀態(tài)，測量其能量時，得到確定值。2、簡并：如果系統(tǒng)的能級是分立的，即，若對同一個能級，有兩個及其以上的本征函數(shù)與其對應(yīng)，則稱這個能級是簡并的。9二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(2)例一、一維無限深方勢阱中粒子的能量本征值和本征態(tài)為：一個能量本征值對應(yīng)一個本征態(tài)：非簡并例二、一維諧振子的能量本征值和本征態(tài)為：一個能量本征值對應(yīng)一個本征態(tài)：非簡并1
4、0二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(3)3、宇稱：函數(shù)在空間反演下表現(xiàn)出的特性。定義空間反演算符：若：則稱具有確定的偶宇稱奇宇稱例：偶宇稱奇宇稱注意：一般的函數(shù)沒有確定的宇稱！11二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(4)4、定態(tài)薛定諤方程設(shè)質(zhì)量為的粒子沿軸運動，勢能為一般情況下：若，則時，粒子處于定態(tài)：則有：粒子波函數(shù)所滿足的方程為：稱其為定態(tài)薛定諤方程，也就是能量本征方程。12二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(5)七個定理：定理1：設(shè)是能量本征方程的一個解，其對應(yīng)的能量本征值為，則也是能量本征方程的一個解，其對應(yīng)的能量本征值為?！咀C】對
5、能量本征方程取復共軛，并注意到，有：所以也是能量本征方程的一個解，其對應(yīng)的能量本征值為。13二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(6)推論:對應(yīng)于能量的某個本征值，若對應(yīng)的能量本征方程的解不簡并，則這個解可取為實函數(shù)。【證】：是能量本征方程對應(yīng)的一個解，根據(jù)定理1，也是對應(yīng)的一個解，若能級不簡并，則和對應(yīng)的是同一個量子態(tài)：所以為實函數(shù)。14二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(7)定理2：設(shè)是能量本征方程的一個解，對應(yīng)于能量的某個本征值，總可以找到能量本征方程的一組實解，凡是屬于的任何解，均可表示為這一組實解的線性疊加。【證】設(shè)是能量本征方程屬于的解
6、，如果實數(shù)域，不談。如果復數(shù)域，由定理1，也是能量本征方程屬于的解。15二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(8)根據(jù)線性微分方程的疊加原理，這兩個函數(shù)也是方程屬于的解，即：得證。令：均為實數(shù)函數(shù)，從中可得到：16二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(9)定理3：設(shè)具有確定的偶宇稱，即如果是能量本征方程對應(yīng)于能量本征值的解，則也是方程對應(yīng)于的解。【證】是方程的解，令注意到，有：也是方程對應(yīng)于的解。17二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(10)推論:設(shè)是能量本征方程對應(yīng)于能量本征值的解，如果，若無簡并，則具有確定的宇稱。【證】由定理3，若，則和都是
7、方程屬于的解，無簡并，則和必然對應(yīng)同一量子態(tài)，即：另一方面，但具有確定的宇稱。18二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(11)定理4：設(shè)，則對應(yīng)于任何一個能量本征值?？偪梢哉业侥芰勘菊鞣匠痰囊唤M解，其中的每個解都有確定的宇稱，而屬于的任何解，都可用它們來展開?！咀C】設(shè)是能量本征方程屬于的解，由定理3，也是方程屬于的一個解。令：則和也是方程屬于的解，且具有確定的宇稱。屬于的解和可以用和來展開：19二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(12)定理5：20二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(13)推論:21二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(14)
8、定理6：22二、一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)(15)定理7：設(shè)粒子在無奇點
