維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)

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1、第2章一維勢場中的粒子引言本章主要是用Schr?dinger方程來處理一維粒子的能量本征態(tài)問題.下面先討論一維粒子的能量本征態(tài)的一些共同的特點.一維定態(tài)問題數(shù)學(xué)處理簡單，便于嚴(yán)格求解。作為量子體系，同樣可展現(xiàn)量子問題的主要特征，因而是處理復(fù)雜問題的基礎(chǔ)。設(shè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢場中(考慮定態(tài)的情況下)的能量本征方程為（1）為能量本征值.為相應(yīng)的能量本征態(tài).2.1一維勢場中粒子能量本征態(tài)的一般性質(zhì)在上式中，(實數(shù)值)在求解能量本征方程(1)時，要根據(jù)具體物理問題的邊條件來定解．如束縛態(tài)條件,散射態(tài)的邊沿條

2、件等.為此先討論其一般解有關(guān)的七條基本性質(zhì)．其中前4條,不僅對一維問題成立,對于三維問題也同樣適用.注意下面先對該方程的解的一般性質(zhì)進(jìn)行討論．定理1也是方程(1)的一個解，對應(yīng)的能量也是則設(shè)應(yīng)的能量本征值為是能量本征方程(1)的一個解，對設(shè)，假設(shè)對應(yīng)于能量的某個本征值,方程(1)解無簡并,(即只有一個獨立的解),則可取為實解(除了一個無關(guān)緊要的常數(shù)因子之外).證明：將Schr?dinger方程取復(fù)共軛即得證。對應(yīng)于能量的某個本征值，總可以找到方程(1)的一組實解,凡是屬于的任何解，均可表示為這一組實解的

3、線性疊加。定理2對于能級有簡并的情況,要用到此定理.說明證明：將用定理1和態(tài)疊加原理可證(見P.28)。定理3定義空間反射算符即把空間坐標(biāo)設(shè)具有空間反射不變性，如是方程（1）的對應(yīng)于能量本征值的解，則也是方程（1）的對應(yīng)于能量的解.對于一維粒子有證明：對Schr?dinger方程做空間反射可證(P.28)。偶宇稱解(evenparity)奇宇稱解(oddparity)一維諧振子和一維對稱方勢阱都是具有空間反射對稱性，它們的能量本征態(tài)都有確定的宇稱。如果對應(yīng)于某能量方程(1)的解無簡并,則解必有確定的宇稱

4、(parity).對于能級有簡并的情況，能量本征態(tài)并不一定就具有確定宇稱。此時，可以用定理（4）來處理。定理4設(shè)則對應(yīng)于任何一個能量本征值總可以找到方程(1)的一組解(每個解都有確定的宇稱),而屬于能量本征值的任何解，都可用它們來展開.證明：通過構(gòu)造奇偶函數(shù)即可證(P.29)。適用范圍在坐標(biāo)表象中,涉及波函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問題,應(yīng)從能量本征方程(1)出發(fā),根據(jù)的性質(zhì)進(jìn)行討論.如是的連續(xù)函數(shù),則與必為的連續(xù)函數(shù).但是如不連續(xù),或有某種奇異性,則及其各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性問題需要具體分析.對于有限的階梯形方

5、位勢（2）定理5對于一維有限深方勢阱，這個定理明顯成立.能量本征函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定是連續(xù)的(但如，則定理不成立).證明：通過證明的導(dǎo)數(shù)連續(xù)而得證(P.29)。V2V(x)x0aV1（3）定理6注意對于束縛態(tài)(boundstate),當(dāng)時,所以式(3)中常數(shù)必為0.推論因此,對于同屬于能量的任何兩個束縛態(tài)波函數(shù)與對于一維粒子，設(shè)與均為方程（1）的屬于同一能量的解，則證明：利用Schr?dinger方程并積分而得證(P.30)。定理7對于常見的不規(guī)則勢阱(如無限深勢阱,勢阱等),在絕大多數(shù)情況下上述定理也成立

6、.注意對于某些不規(guī)則勢阱,如一維氫原子除基態(tài)外，其他束縛態(tài)均為二重簡并。其特征是波函數(shù)的節(jié)點出現(xiàn)在的奇異點處，兩個簡并態(tài)具有不同宇稱。設(shè)粒子在規(guī)則（regular）勢場中運(yùn)動(無奇點)，如存在束縛態(tài)，則必定不簡并。證明：利用定理（6）并積分而得證(P.30)。①由粒子運(yùn)動實際情況正確寫出勢函數(shù)V(x)②代入定態(tài)薛定諤方程③解方程④解出能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)⑤求出概率密度分布及其他力學(xué)量▲量子力學(xué)解題的一般思路常見的理想位勢①自由粒子②方勢阱方勢阱無限深方勢阱▲幾種勢函數(shù)方勢阱▲方勢阱是實際情況的極端

7、化和簡化分子束縛在箱子內(nèi)三維方勢阱金屬中的電子例如③勢壘梯形勢散射問題勢壘隧道貫穿④其他形式超晶格諧振子﹟▲量子力學(xué)中常用的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解對方程其特征方程為a金屬V(x)V=V0V=V0EV=0x極限V=0EV→∞V→∞V(x)x0a無限深方勢阱potentialwell▲一維無限深方形勢阱分立譜V=0EV→∞V→∞V(x)x0a無限深勢阱的特點：粒子在勢阱內(nèi)受力為零勢能為零在阱內(nèi)自由運(yùn)動在阱外勢能為無窮大在阱壁上受極大的斥力不能到阱外下面將對有關(guān)問題作定量求解