灰色預(yù)測模型理論及其應(yīng)用資料

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1、灰色預(yù)測模型理論及其應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論認為對既含有已知信息又含有未知或非確定信息的系統(tǒng)進行預(yù)測，就是對在一定方位內(nèi)變化的、與時間有關(guān)的灰色過程的預(yù)測.盡管過程中所顯示的現(xiàn)象是隨機的、雜亂無章的，但畢竟是有序的、有界的，因此這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律，灰色預(yù)測就是利用這種規(guī)律建立灰色模型對灰色系統(tǒng)進行預(yù)測.灰色預(yù)測模型只需要較少的觀測數(shù)據(jù)即可，這和時間序列分析，多元回歸分析等需要較多數(shù)據(jù)的統(tǒng)計模型不一樣.因此，對于只有少量觀測數(shù)據(jù)的項目來說，灰色預(yù)測是一種有用的工具.本文主要圍繞灰色預(yù)測GM(1,1)模型及

2、其應(yīng)用進行展開。一、灰色系統(tǒng)及灰色預(yù)測的概念1.1灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)產(chǎn)生于控制理論的研究中。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部特征是完全已知的，即系統(tǒng)的信息是充足完全的，我們稱之為白色系統(tǒng)。若一個系統(tǒng)的內(nèi)部信息是一無所知，一團漆黑，只能從它同外部的聯(lián)系來觀測研究，這種系統(tǒng)便是黑色系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)介于二者之間，灰色系統(tǒng)的一部分信息是已知的，一部分是未知的。區(qū)別白色和灰色系統(tǒng)的重要標志是系統(tǒng)各因素間是否有確定的關(guān)系。特點：灰色系統(tǒng)理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定型系統(tǒng)的研究對象。1.2灰色預(yù)測灰

3、色系統(tǒng)分析方法是通過鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢的相似或相異程度，即進行關(guān)聯(lián)度分析，并通過對原始數(shù)據(jù)的生成處理來尋求系統(tǒng)變動的規(guī)律。生成數(shù)據(jù)序列有較強的規(guī)律性，可以用它來建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測事物未來的發(fā)展趨勢和未來狀態(tài)?；疑A(yù)測是用灰色模型GM(1,1)來進行定量分析的，通常分為以下幾類：(1)灰色時間序列預(yù)測。用等時距觀測到的反映預(yù)測對象特征的一系列數(shù)量（如產(chǎn)量、銷量、人口數(shù)量、存款數(shù)量、利率等）構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或者達到某特征量的時間。(2)畸變預(yù)測（災(zāi)變預(yù)測）。通

4、過模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。(3)波形預(yù)測，或稱為拓撲預(yù)測，它是通過灰色模型預(yù)測事物未來變動的軌跡。(4)系統(tǒng)預(yù)測，是對系統(tǒng)行為特征指標建立一族相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測理論模型，在預(yù)測系統(tǒng)整體變化的同時，預(yù)測系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的變化。上述灰預(yù)測方法的共同特點是：（1）允許少數(shù)據(jù)預(yù)測；（2）允許對灰因果律事件進行預(yù)測，比如灰因白果律事件：在糧食生產(chǎn)預(yù)測中，影響糧食生產(chǎn)的因子很多，多到無法枚舉，故為灰因，然而糧食產(chǎn)量卻是具體的，故為白果。糧食預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。白因灰果律事件

5、：在開發(fā)項目前景預(yù)測時，開發(fā)項目的投入是具體的，為白因，而項目的效益暫時不很清楚，為灰果。項目前景預(yù)測即為灰因白果律事件預(yù)測。（3）具有可檢驗性，包括：建?？尚行缘募壉葯z驗（事前檢驗），建模精度檢驗（模型檢驗），預(yù)測的滾動檢驗（預(yù)測檢驗）。二、GM（1,1）模型2.1GM(1,1)模型GM(1,1)模型是基于灰色系統(tǒng)的理論思想，將離散變量連續(xù)化，用微分方程代替差分方程，按時間累加后所形成的新的時間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近，用生成數(shù)序列代替原始時間序列，弱化原始時間序列的隨機性，這樣可

6、以對變化過程作較長時間的描述，進而建立微分方程形式的模型.其建模的實質(zhì)是建立微分方程的系數(shù)，將時間序列轉(zhuǎn)化為微分方程，通過灰色微分方程可以建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展模型.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時間數(shù)列呈指數(shù)變化規(guī)律時，灰色預(yù)測GM(1,1)模型的預(yù)測將是非常成功的.2.2GM(1,1)模型的建立GM(1,1)模型是指一階，一個變量的微分方案預(yù)測模型，是一階單序列的線性動態(tài)模型，用于時間序列預(yù)測的離散形式的微分方程模型.模型符號含義為GM（1，1）GreyModel1階方程1個變量設(shè)時間序

7、列有個觀察值，，為了使其成為有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，對其作一次累加生成運算，即令從而得到新的生成數(shù)列，,稱為GM(1,1)模型的原始形式。新的生成數(shù)列一般近似地服從指數(shù)規(guī)律.則生成的離散形式的微分方程具體的形式為即表示變量對于時間的一階微分方程是連續(xù)的.求解上述微分方程，解為當=1時，，即，則可根據(jù)上述公式得到離散形式微分方程的具體形式為其中，項中的為的背景值，也稱初始值；，是待識別的灰色參數(shù)，為發(fā)展系數(shù)，反映的發(fā)展趨勢；為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系.按白化導數(shù)定義有顯然，當時間密化值定義為1時，當

8、時，則上式可記為這表明是一次累減生成的，因此該式可以改寫為當足夠小時，變量從到是不會出現(xiàn)突變的，所以取與的平均值作為當足夠小時的背景值，即（緊鄰均值（MEAN）生成序列）將其值帶入式子，整理得（GM(1,1)模型的均值形式）由其離散形式可得到如下矩陣：令稱為數(shù)據(jù)向量，為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量.則上式可簡化為線性模型：由最小二乘估計方法得上式即為GM(1,1)參數(shù)的矩陣辨識算式，式中事實上是數(shù)據(jù)矩陣的廣義逆矩陣.將求得的，值代入微分方程的解式，