《高數(shù)》數(shù)列極限》PPT課件

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1、預備知識一、區(qū)間與鄰域概念二、函數(shù)（兩要素、4種特性、運算）三、基本初等函數(shù)（16個）四、初等函數(shù)：基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和　有限次復合所構(gòu)成且可有一個式子表達的函數(shù)1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)4.三角函數(shù)5.反三角函數(shù)特：y=ex特：y=lnx特：y=C（常數(shù)）請參考第1節(jié)內(nèi)容1注：函數(shù)的特性:1、定義域[-1，+1]2、值域：3、特性：單增、奇、有界每個基本函數(shù)掌握要點：對應規(guī)律、定義域、值域、圖象、特性2第2節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)第一章函數(shù)與極限3一、數(shù)列極限定義數(shù)列：如果按照某一法則，對每一個,對應著一個確定的

2、實數(shù)，這些實數(shù)按照下標n從小到大排列得到的一個序列就叫數(shù)列，記為.可視為一種定義域為正整數(shù)的函數(shù)；數(shù)列的兩種幾何表示：在直線上：在平面上：12437…56數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.4播放問題:當無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?5通過上面演示實驗的觀察:問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻畫它.分析:我們用這兩個數(shù)差的絕對值來表示兩點的距離；用絕對值可以任意小來描述“無限接近”。直觀印象:若當n無限增大時,xn無限接近于某一確定的數(shù)值a，就稱當n??，{xn}的極限為a.6

3、xn-a

4、要多小有多小以下說法是等價的：xn無

5、限接近數(shù)值a點xn與點a距離要多近有多近？即：要使

6、xn-a

7、??，只需n>？7數(shù)列與固定常數(shù)1的距離89如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：數(shù)列極限定義:對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù),使得當時,不等式都成立,那么就稱常數(shù)是數(shù)列的極限,或者稱數(shù)列收斂于,記為或設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)，不等式刻畫了xn和a的“無限接近”，必須是可以任意小的，不能只是局限于某些個別的；與有關(guān)，通常隨著的不同而變化；但對于固定的，又是不唯一的！刻畫了變標的變化程度，與無關(guān)！10幾何解釋:.符號定義:任意給定存在冰冷的美麗和火熱的思考.11數(shù)列極限的定義

8、未給出求極限的方法.例1.證:所以,注意：12例2.已知證明證:欲使只要即取則當時,就有故故也可取N與?有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找相應的N；但不必要求最小的N.13例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當n>N時,就有故的極限為0.14二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.唯一性【定理1】收斂的數(shù)列極限唯一.證：由定義,矛盾.故收斂數(shù)列極限唯一.15二、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.有界性【定理2】收斂的數(shù)列必定有界.證：由定義,注意：有界是數(shù)列收斂的必要條件.逆否命題？推論無界數(shù)列必定發(fā)散.此性質(zhì)反過來不一定

9、成立.雖有界但不收斂.16二、收斂數(shù)列的性質(zhì)3.保號性【定理3】如果且(或)，那么存在正整數(shù)，當時，都有(或).證明：設(shè)由數(shù)列極限的定義，對存在正整數(shù)當時有或即17二、收斂數(shù)列的性質(zhì)3.保號性【推論】如果數(shù)列從某項起有(或)，且那么(或)【定理3】如果且(或)，那么存在正整數(shù)，當時，都有(或).證明：不妨設(shè)時，用反證法若由定理3知存在N2，當時，有取當時即有矛盾.又有故必有18二、收斂數(shù)列的性質(zhì)4.與子列的關(guān)系【子數(shù)列定義】在一個數(shù)列中任意抽取無限多項，并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的一個子數(shù)列，簡稱子列.如數(shù)列　　的幾個子

10、列為：一般地子列可寫為：注意：是子列的第ｋ項，是原數(shù)列的第nｋ項19*********************20例4二、收斂數(shù)列的性質(zhì)4.與子列的關(guān)系【定理4】每個收斂數(shù)列的子數(shù)列也收斂，且極限相同。證略：逆否命題？證明：即兩個子列極限不同，故原數(shù)列是發(fā)散的；21本次課小結(jié)一、數(shù)列極限:唯一性有界性定義:幾何意義:二、收斂數(shù)列的性質(zhì)保號性與子列的關(guān)系22作業(yè)：P301預習：§3函數(shù)的極限23*********************證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當時,有現(xiàn)取正整數(shù)K,使于是當時,有從而有由此證明********************

11、*24二、數(shù)列的極限25二、數(shù)列的極限26二、數(shù)列的極限27二、數(shù)列的極限28二、數(shù)列的極限29二、數(shù)列的極限30二、數(shù)列的極限31二、數(shù)列的極限32二、數(shù)列的極限33二、數(shù)列的極限34二、數(shù)列的極限35二、數(shù)列的極限36二、數(shù)列的極限37內(nèi)容回顧一、基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.二、函數(shù)的概念(注意函數(shù)的兩個要素)三、函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.四、函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)基本初等函數(shù)(16個)復合函數(shù)(含雙曲函數(shù))38例如,趨勢不定收斂發(fā)散39所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).例證：401.割圓術(shù):如何求圓的周

12、長？如何用圓的半徑來表示圓的周長？數(shù)列的極限（問題的引入）：41“