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《《高數(shù)全微分方程》PPT課件》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、第五節(jié)全微分方程顯然全微分方程（1）的隱式通解為若（1）是全微分方程，有其中是G內(nèi)一適當(dāng)選定的點(diǎn)。則稱方程為全微分方程。（1）設(shè)、在區(qū)域G有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。若，形如（1）的方程是全微分方程（2）注:1例1求解解∵∴所給方程是全微分方程。取、，有所以，方程的通解為2例2求解解由將方程兩端同乘以，則化為全微分方程知是一個(gè)積分因子。即于是原方程的通解為：，即y=Cx。注一般來(lái)說(shuō)，積分因子并不是唯一的。例2中,都是它的積分因子?？梢敕e分因子，成為全微分方程。當(dāng)條件不能滿足時(shí)，使注:3例3求微分方程的通解。解取積分因子原方程
2、化為全微分方程取、當(dāng)為齊次方程時(shí)，其積分因子為即得微分方程的通解為：補(bǔ)充4(1)1)微分方程(1)只有一個(gè)只依賴于y的積分因子的充要條件為:且其積分因子為:2)微分方程(1)只有一個(gè)只依賴于x的積分因子的充要條件為:且其積分因子為:5例4求微分方程的通解。解:顯然該方程不是全微分方程,但所以該微分方程有積分因子:以乘以原方程的兩側(cè),得方程:兩邊積分得:或補(bǔ)充6熟記一些簡(jiǎn)單常用的二元函數(shù)的全微分，如7例5求微分方程的通解。解:顯然該方程不是全微分方程.將原方程改寫(xiě)為:又取積分因子則方程化為:兩邊積分的方程的通解為:補(bǔ)充8
3、例6求微分方程的通解。解它不是全微分方程。重新組合得：兩邊乘以積分因子得兩邊積分得：即方程的通解為:補(bǔ)充9第七節(jié)可降階的高階微分方程一、型的微分方程例1求微分方程的通解。解這就是所求的通解。一般地，形如的方程，只要連續(xù)積分n次，即可求得通解。對(duì)所給方程積分三次得10二、型的微分方程(不顯含y)令則對(duì)應(yīng)的微分方程就成為一個(gè)關(guān)于變量x、p的一階微分方程設(shè)其通解為則又得到一個(gè)一階微分方程兩端積分便得原方程的通解為11例2求解初值問(wèn)題:解令兩邊積分得由得兩端再積分得:于是所求的特解為由得即分離變量后，有代入方程得12例3懸鏈線
4、的方程（將一均勻、柔軟的繩索兩端固定，繩索僅受重力作用而下垂，達(dá)平衡狀態(tài)時(shí)即為懸鏈線）。TθOxyAMρgsH解且│OA│=某個(gè)定值。設(shè)繩索的最低點(diǎn)為A，取y軸通過(guò)點(diǎn)A、x軸水平向右，設(shè)繩索曲線的方程為y=y(x),則該段繩索的重量為ρgs。在曲線上任取一點(diǎn)M(x，y),設(shè)A到M弧段長(zhǎng)為s，繩索的線密度為ρ，繩索在點(diǎn)A處的張力沿水平方向向左，其大小設(shè)為H；在點(diǎn)M處的張力沿繩索斜向上,并在M點(diǎn)與繩索相切,設(shè)其傾角為θ、大小為T。13于是，y=y(x)應(yīng)滿足的微分方程為:（*）因作用于AM弧段上的外力相互平衡，把作用于此弧
5、段上的外力沿鉛直及水平兩方向分解，得TθOxyAMρgsH將兩式相除得又由弧長(zhǎng)公式取│AO│=α，初始條件為14令，代入方程（*）并分離變量得代入初值條件，得積分得（**）于是（**）式成為即代入初始條件得所以，懸鏈線方程為15三、型的微分方程(不顯含x)令則于是就成為分離變量并積分，便得原方程的通解為這是一個(gè)關(guān)于y、p的一階微分方程。設(shè)其通解為16例4求微分方程的通解.解代入原方程得令則兩端積分得即或原方程的通解為分離變量得：兩端積分得在y≠0、p≠0時(shí)，約去p并分離變量得由得顯然,y=C也在通解中.17練習(xí)：P36
6、61（5）(7)（10）解（5）：令則原方程化為即即18解（10）：令則原方程化為即由得由分離變量得兩邊積分得即分離變量得兩邊積分得原方程的通解為19小結(jié)：1.全微分方程、積分因子2.型的微分方程3.型的微分方程4.型的微分方程20
