上課133函數(shù)的最大小值與導數(shù)

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1、1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導數(shù)9/10/20211.用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間.一、復習引入：2.判別f(x0)是極大、極小值的方法:3.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根注：導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.極值只能在函數(shù)不可導的點或導數(shù)為零的點取到.若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大

2、值點，是極大值..2.判別f(x0)是極大、極小值的方法:3.求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根注：導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.極值只能在函數(shù)不可導的點或導數(shù)為零的點取到.若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值..(3)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取

3、得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值.我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點附近的局部性質，而不是函數(shù)在整個定義域內的性質.也就是說，如果是函數(shù)的極大(小)值點，那么在附近找不到比更大(小)的值，但是，在解決實際問題或研究函數(shù)性質時，我們往往更關心函數(shù)在某個區(qū)間上哪個值是最大，哪個值最小，如果是函數(shù)的最大(小)值點，那么不小(大)于函數(shù)在相應區(qū)間上所有函數(shù)值.求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內討論問題,是一個局部概念,而函數(shù)的最值是對整個定義域而言,是在整體范圍內討論問題,是一個整體性的概念.(2)閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)一定

4、有最值.開區(qū)間(a,b)內的可導函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數(shù)的極值則可能不止一個,也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).練、函數(shù)y=x3+3x2－9x在[－4,4]上的最大值為,最小值為.分析:(1)由f′(x)=3x2+6x－9=0,(2)區(qū)間［－4,4］端點處的函數(shù)值為f(－4)=20,f(4)=76得x1=－3，x2=1函數(shù)值為f(－3)=27,f(1)=－5當x變化時，y′、y的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-

5、0+0y2027-576比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在［－4,4］上的最大值為f(4)=76，最小值為f(1)=－5例2已知x∈(0,+∞).是否存在實數(shù)a、b使f(x)同時滿足下列兩個條件：（1）f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在［1，+∞)上是增函數(shù)；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b,若不存在，說明理由.解：設g(x)=∵f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù)∴g(x)在(0,1)上是減函數(shù),在[1,+∞)上是增函數(shù)經(jīng)檢驗，a=1,b=1時，f(x)滿足題設的兩個條件含參數(shù)的最值問題例4、設為常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.例5、設，函

6、數(shù)的最大值為1，最小值為，求、的值.由函數(shù)的最值求參數(shù)的值與函數(shù)最值有關的恒成立問題例4、已知函數(shù).(1)若函數(shù)在和處取得極值，試求、的值；(2)在(1)的條件下，當時，恒成立，求的取值范圍.含參數(shù)的最值問題例3、已知是實數(shù)，函數(shù).(1)若，求的值及曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值.五、小結1.求在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在[a,b]上的最值的步驟:(1)求f(x)在(a,b)內的極值;(2)將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.2.求函數(shù)的最值時,應注意以下幾點:(1)要正確區(qū)分極值與最

7、值這兩個概念.(2)在[a,b]上連續(xù),(a,b)上可導的函數(shù)f(x)在(a,b)內未必有最大值與最小值.(3)一旦給出的函數(shù)在(a,b)上有個別不可導點的話,不要忘記在步驟(2)中,要把這些點的函數(shù)值與各極值和f(a)、f(b)放在一起比較.求下列函數(shù)在指定區(qū)間內的最大值和最小值:練習:最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61P31練（2）（4）（04浙江文21）（本題滿分12分）已知a為實數(shù)，（Ⅰ）求導數(shù)；（Ⅱ）若，求在[-2，2]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是