高等幾何-第一章仿射坐標(biāo)與仿射變換()

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1、高等幾何1課程概論高等幾何是師范類數(shù)學(xué)專業(yè)重要的基礎(chǔ)課之一，它跟初等幾何、解析幾何、高等代數(shù)等課程有緊密的聯(lián)系；對(duì)未來中學(xué)數(shù)學(xué)教師在幾何方面基礎(chǔ)的培養(yǎng)、觀點(diǎn)的提高、思維的靈活、方法的多樣起著重要作用，有助于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高和科研能力的培養(yǎng)。本書的主要內(nèi)容是介紹射影幾何學(xué)，但為了比較起見，也引進(jìn)了仿射幾何學(xué)與歐氏幾何學(xué)。射影幾何學(xué)范圍大，可以包含許多其他的幾何學(xué)，例如歐氏幾何學(xué)、非歐氏幾何學(xué)、仿射幾何學(xué)等。2課程概論射影幾何學(xué)的起源是由于繪圖和建筑上的需要。當(dāng)一個(gè)畫家要把一個(gè)實(shí)像描繪在一塊布幕上

2、時(shí)，他用他的眼睛當(dāng)做是投影中心，把實(shí)像投影到布幕上去。他的眼睛好比燈光，把實(shí)像的影子映射到布幕上去，然后再描繪出來。在建筑上我們需要把設(shè)計(jì)的實(shí)物畫在一個(gè)面上，平面上的圖像就是實(shí)物的平面投影。（透視圖）這種投影技術(shù)在純理論方面的發(fā)展，就成為射影幾何學(xué)。在實(shí)用方面的發(fā)展就成為工科院校的一門基礎(chǔ)課---畫法幾何學(xué)。3課程概論一、高等幾何的內(nèi)容歐氏幾何仿射幾何射影幾何十九世紀(jì)名言一切幾何學(xué)都是射影幾何4歐氏幾何(初等幾何)研究圖形在“搬動(dòng)”之下保持不變的性質(zhì)和數(shù)量(統(tǒng)稱不變性，如距離、角度、面積、體積等)搬

3、動(dòng)正交變換對(duì)圖形作有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射的結(jié)果歐氏幾何研究圖形在正交變換下不變性質(zhì)的科學(xué)5仿射幾何平行射影仿射變換仿射幾何研究圖形在仿射變換下不變性質(zhì)的科學(xué)透視仿射對(duì)應(yīng)有限次平行射影的結(jié)果仿射不變性比如——平行性、兩平行線段的比等等6射影幾何中心射影射影變換射影幾何研究圖形在射影變換下不變性質(zhì)的科學(xué)透視對(duì)應(yīng)有限次中心射影的結(jié)果射影不變性比如——幾條直線共點(diǎn)、幾個(gè)點(diǎn)共線等等射影變換將徹底改變我們?cè)械膸缀慰臻g觀念！7課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的方法綜合法給定公理系統(tǒng)(一套相互獨(dú)立、無矛

4、盾、完備的命題系統(tǒng))，演繹出全部?jī)?nèi)容解析法數(shù)形結(jié)合，利用代數(shù)、分析的方法研究問題本課程兼用綜合法與解析法8課程概論一、高等幾何的內(nèi)容二、高等幾何的與方法三、開課目的學(xué)習(xí)射影幾何，拓展幾何空間概念，引入幾何變換知識(shí)，接受變換群思想。訓(xùn)練理性思維、抽象思維、邏輯推理能力，增強(qiáng)數(shù)學(xué)審美意識(shí)，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)。新穎性，趣味性，技巧性，反饋于初等幾何，提高觀點(diǎn)，加深理解，舉一反三。9主要內(nèi)容第二章：射影平面包括：中心射影，齊次坐標(biāo)，對(duì)偶原理，復(fù)元素第三章：射影變換與射影坐標(biāo)包括：交比，調(diào)和共軛，透視對(duì)應(yīng)，一維射影

5、變換，二維射影變換、射影坐標(biāo)第四章：變換群與幾何學(xué)克萊因（F.Klein)的變換群觀點(diǎn)第五章：二次曲線的射影理論包括：二次曲線的射影定義，帕斯卡和布利安桑定理，極點(diǎn)，極線，配極原則，二次曲線的射影分類第六章：二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)包括：二次曲線的中心，直徑，共軛直徑，漸近線，二次曲線的仿射分類，主軸，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，二次曲線的度量分類，射影幾何?????????第一章：仿射坐標(biāo)與仿射變換包括：透視仿射對(duì)應(yīng)，仿射對(duì)應(yīng)，仿射變換和性質(zhì)，仿射坐標(biāo)本教材基本框架???????????????10第一章：仿

6、射坐標(biāo)與仿射變換定義：設(shè)A,B,C為共線三點(diǎn)，這三點(diǎn)的單比（ABC）定義為以下有向線段的比：§1透視仿射對(duì)應(yīng)一.單比當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，(ABC)<0稱A、B為基點(diǎn)，C為分點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C在線段AB或BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(ABC)?0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，(ABC)=0當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，(ABC)不存在當(dāng)點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=-1注：與定比分點(diǎn)中定比（分割比）相差一個(gè)符號(hào)。11二.兩直線間透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換1..兩直線間的透視仿射對(duì)應(yīng)ABCD若直線且,，≠≠,點(diǎn)A,B,C,D…

7、…,過點(diǎn)A,B,C,D…作直線的平行線交于……，則可得直線到直線的一個(gè)映射。稱為透視仿射對(duì)應(yīng)，記為T12ABCD原象點(diǎn)：A,B,C,D……直線a上的點(diǎn)平行射影的方向：直線透視仿射對(duì)應(yīng)與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射對(duì)應(yīng)O點(diǎn)O為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一平面上兩相交直線的公共點(diǎn))映象點(diǎn)：……直線上的點(diǎn)記透視仿射對(duì)應(yīng)T：………132.兩直線間的仿射對(duì)應(yīng)仿射對(duì)應(yīng)是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射對(duì)應(yīng)（如圖）………………14如圖所示：第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換15注：（1）.仿射對(duì)應(yīng)是有限

8、次的透視仿射對(duì)應(yīng)組成的（2）.判斷仿射對(duì)應(yīng)是否是透視仿射對(duì)應(yīng)的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是否平行（3）.書寫的順序與透視仿射對(duì)應(yīng)的順序是相反的二.兩平面的透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射變換：1.透視仿射對(duì)應(yīng)：如圖點(diǎn)A,B,C共線a，則共線gABCal兩相交平面的交線為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸3.兩直線間的仿射變換與重合的仿射對(duì)應(yīng)稱為仿射變換。16如圖第一章、仿射坐標(biāo)與仿射變換17平面到平面的仿射對(duì)應(yīng)是有限次透視仿射對(duì)應(yīng)的積組成的，是透視仿射對(duì)應(yīng)鏈。三.透視仿射對(duì)應(yīng)、仿射對(duì)應(yīng)與仿射