空間解析幾何.第5章 正交變換與仿射變換.ppt

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1、第5章正交變換和放射變換§1變換§2平面的正交變換§3平面的仿射變換§4二次曲線的度量分類與仿射分類§5空間的正交變換與仿射變換§1映射與變換定義1.1設(shè)S與S’是兩個(gè)集合,對(duì)S中任一元素a,按某一法則在S'中有唯一的元素a'與之對(duì)應(yīng),我們稱此法則(即對(duì)應(yīng)關(guān)系)為S到S'的一個(gè)映射。記作σ:S→S',aa'.或者記作:a’=σ(a),a∈S。a’稱為a在映射σ下的象,a稱為a'在σ下的一個(gè)原象。集合S到S'的兩個(gè)映射σ和τ稱為相等,如果對(duì)于任意a∈S,都有σ(a)=τ(a)。集合S到自身的一個(gè)映射叫做S的一個(gè)變換。例1設(shè)S是全體自然數(shù)集,S’=

2、｛±n

3、n∈S｝,則σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一個(gè)映射。τ(n)=4n,n∈S，也是S到S'中的一個(gè)映射。例2設(shè)S是無數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。則定義為的法則σ是S到S'上的一個(gè)映射。例3設(shè)=,法則定義為,∈,則是到自身的一個(gè)變換,此映射稱為恒等變換。例4平面上的平移設(shè)S是平面上所有點(diǎn)的集合,取定一個(gè)直角坐標(biāo)系,給定一個(gè)向量=()。令點(diǎn)P(x,y)與P’(x’,y’)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為則有(1.1)這是S到自身的一個(gè)變換,稱為由決定的平移。公式(1.1)稱為平面上的點(diǎn)的平移公式。注：在形式上平移公式與點(diǎn)的坐標(biāo)變換中的移

4、軸公式類似,但是含意卻完全不同:點(diǎn)的平移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同的兩個(gè)點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中的坐標(biāo);而移軸公式中,(x,y)和(x',y')是同一個(gè)點(diǎn)在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。例5平面上的旋轉(zhuǎn)S是平面上所有點(diǎn)的集合,在平面上取定一個(gè)直角坐標(biāo)系｛O;｝,令點(diǎn)P(x,y)和P’(x’,y’)的對(duì)應(yīng)關(guān)系τ為(1.2)其中，θ是一確定的實(shí)數(shù),則τ是S上的一個(gè)變換,稱為平面繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn),轉(zhuǎn)角為θ。(1.2)稱為平面上轉(zhuǎn)角為θ的旋轉(zhuǎn)公式。例6平面上的反射。設(shè)l是平面上一條定直線,平面上任一點(diǎn)P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為P’。這種從P點(diǎn)到P’點(diǎn)的映射,稱為

5、平面上以l為軸的反射。若取l為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)P(x,y),P'(x',y'),則此反射表示為(1.3)設(shè)σ:S→S’,我們用σ(S)表示S中的點(diǎn)在σ下的象的全體,顯然有。當(dāng)σ(S)=S'時(shí),則稱σ是滿射或到上的。如果在映射σ下,S中不同元素的象也不同,則稱σ是單射(或1—1的)。既是單射又是滿射的映射稱為雙射(或1—1對(duì)應(yīng)）。定義1.2設(shè)映射:S→S’,:S’→S″,則定義乘積映射為對(duì)于S到S’的雙射σ,我們可以定義它的逆映射：若σ(a)=a’∈S’,a∈S,則定義,顯然,易證,1—1對(duì)應(yīng)的逆映射也是1—1對(duì)應(yīng),1—1對(duì)應(yīng)的乘積也是

6、1—1對(duì)應(yīng),映射的乘法滿足結(jié)合律。定義1.3設(shè)σ:S→S是一變換,若對(duì)a∈S,滿足σ(a)=a,則稱a是σ的不動(dòng)點(diǎn),｛a∈S

7、σ(a)=a｝稱為σ的不動(dòng)點(diǎn)集。平面上的平移與旋轉(zhuǎn)的乘積稱為平面上的運(yùn)動(dòng)(即剛體運(yùn)動(dòng)),它是平面到自身上的1—1變換。例7設(shè)σ是平面上由=(a,b)決定的平移,τ是平面上的轉(zhuǎn)角為θ的繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn),τσ:P(x,y)P″(x″,y″)P'(x',y'),則τσ的公式為：，則στ的公式為：由此可見στ≠τσ。平面上點(diǎn)變成點(diǎn)的變換也叫點(diǎn)變換。一個(gè)線性點(diǎn)變換當(dāng)它的變換矩陣的行列式

8、A

9、≠0時(shí),稱為滿秩線性點(diǎn)變換或非退化線性點(diǎn)變換

10、。往后將看到,正交變換和仿射變換在代數(shù)上均表現(xiàn)為非退化的線性變換。定義1.4設(shè)G=｛σ:S→S

11、σ是S上的變換｝,如果G滿足：(1)恒等變換I∈G;(2)若則(3)若σ∈G,則它的逆變換。則稱G為S的一個(gè)變換群。§2平面的正交變換1.平面的正交變換在§1中我們介紹了平面上的三種點(diǎn)變換:平移、旋轉(zhuǎn)和反射。它們有一個(gè)共同的特點(diǎn):保持點(diǎn)之間的距離不變。定義2.1平面上的一個(gè)點(diǎn)變換,如果保持點(diǎn)之間的距離不變,則稱它是正交(點(diǎn))變換(或等距變換)。平面上的運(yùn)動(dòng)與反射都是正交變換。從定義立即得到性質(zhì)1和性質(zhì)2。性質(zhì)1恒等變換是正交變換。性質(zhì)2正交變換的乘積

12、是正交變換。性質(zhì)3正交變換是雙射。證明設(shè)σ是正交變換,把不同的兩點(diǎn)P,Q分別變?yōu)镻’和Q’。由于P,Q不相同,所以,根據(jù)σ保持距離不變,應(yīng)有,因此，P',Q'也是不同的兩點(diǎn),即σ為單射。下證σ是滿射。即對(duì)平面上任何一點(diǎn)P’,都存在P，使σ(P)=P’。為此,在平面上任取不共線的三點(diǎn)(i=1,2,3),設(shè)σ()=(i=1,2,3)。由σ是單射并保持距離不變,易知構(gòu)成一個(gè)三角形,且⊿≌⊿假定P’到的距離為,那么必存在一點(diǎn)P,它到的距離也是。設(shè)σ(P)=P″,則P″到的距離也是,因此P″與P’重合,即σ(P)=P'。由性質(zhì)3知道,正交變換的逆變換存在

13、,且逆變換也是正交變換。因此,由以上三個(gè)性質(zhì)知道平面上全體正交點(diǎn)變換構(gòu)成平面上的一個(gè)變換群,稱為正交變換群。性質(zhì)4正交變換把直線變到直線,并保持共線三