理想不可壓縮流體的平面勢流和旋渦運(yùn)動

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1、第六章理想不可壓縮流體的平面勢流和旋渦運(yùn)動§1流體微團(tuán)運(yùn)動法分析§2速度環(huán)量和漩渦強(qiáng)度§3速度勢和流函數(shù)§5基本的平面勢流§6有勢流動疊加§7理想流體的漩渦運(yùn)動理想流體的流動分有旋運(yùn)動無旋運(yùn)動位勢流動：無旋運(yùn)動由于存在速度勢和流函數(shù)，故又稱位勢流?！?－1流體微團(tuán)運(yùn)動分析流體微團(tuán)的運(yùn)動：平移轉(zhuǎn)動變形轉(zhuǎn)動平移變形角變形線變形一.平移如圖：在流場中取一四邊形流體a、b、c、d，經(jīng)過dt時間后該四邊形移到a’、b’、c’d’，形狀、大小沒有變化，僅是平移了一段距離。各點(diǎn)的速度大小和方向沒有變化，即沒有變形和轉(zhuǎn)動。xabcddxdxdydyb’a’c’d’y二.線變形在t時刻a、b、c、d各點(diǎn)的

2、速度如圖，由于各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過Δt時刻后由b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用下，會產(chǎn)生線變形。xabcdyuvb’a’c’d’定義：單位長度、單位時間內(nèi)線變形稱為線變形率，用ε表示。由定義有：三個方向的線變形討論b點(diǎn)的和d點(diǎn)的作用，經(jīng)時間dt后，由于這兩個速度增量，使原圖形發(fā)生角變形。三.角變形b’a’c’d’ΔαΔβabcdyuv定義：單位時間內(nèi)ab、cd轉(zhuǎn)過的平均角度稱角變形速度，用θ表示。由定義有：為三個平面內(nèi)的角變形四.轉(zhuǎn)動：假設(shè)d點(diǎn)和c點(diǎn)的速度增量在x方向是負(fù)的，則經(jīng)過dt時間后，a、b、c、d繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)過一個角度d’b’a’c’ΔβΔαabcduv圖中定義：單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的平均角度為旋轉(zhuǎn)角

3、速度，以ω表示。代入和有或當(dāng)稱無旋流或勢流。稱有旋流或渦流。流體運(yùn)動是否有旋不能只看其運(yùn)動軌跡，而要看它是否繞自身軸轉(zhuǎn)動。例：流動是否存在？是否有旋？例：流動是否存在？是否有旋？例：如圖所示，流體各個微團(tuán)以速度解：平行于x軸作直線流動，試確定流動是否有旋。有旋運(yùn)動?！?速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度一.渦線、渦管1.渦線：與流線概念相似，渦線也是一條曲線，在給定瞬時t，這條曲線每一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)流體微團(tuán)的角速度的方向重合。由渦線定義得渦線方程：2.渦管在給定瞬時，在渦量場中取一不是渦線得封閉曲線，通過曲線上每點(diǎn)做渦線，這些渦線形成一個管狀表面，稱為渦管，渦管中充滿著做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的流體。沿渦管長度方向旋

4、轉(zhuǎn)角速度是變化的。二.漩渦強(qiáng)度：在渦量場中任取一微元面積，上流體質(zhì)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角速度向量為，為的法線方向，微元面積上的漩渦強(qiáng)度用表示定義：A對整個表面積A積分,總的漩渦強(qiáng)度為：當(dāng)在A上均布,則有：——稱為渦通量漩渦強(qiáng)度等于2倍的渦通量。三、速度環(huán)量定義：假定某一瞬時，流場中每一點(diǎn)的速度是已知的，AB曲線上任一點(diǎn)的速度為，在該曲線上取一微元段為沿微元線段上的環(huán)量。與之間的夾角為α，則稱αAB曲線AB上的環(huán)量為：若曲線AB是封閉曲線，則環(huán)量為：Lα將矢量、分別表示：故對封閉周線L的環(huán)量為：環(huán)量是一個標(biāo)量，它的正負(fù)取決于速度方與線積分的方向。當(dāng)速度方向與線積分方向同向時取正，反向時取負(fù)。若是封閉周

5、線，逆時針為正，順時針為負(fù)。例：不可壓縮流體平面流動的速度分布為，求繞圓的速度環(huán)量。解：積分路徑在圓上，有四、斯托克斯定理斯托克斯定理：任意面積A上的旋渦強(qiáng)度，等于該面積的邊界L上的速度環(huán)量Γ。Stokeslaw將對渦量的研究轉(zhuǎn)化為對速度環(huán)量的研究。因?yàn)榫€積分比面積分要簡單，且速度場比渦量場容易測得。1.微元面積的stokeslaw證明：BCDdxdyAxy取一微元矩形的封閉周線，各點(diǎn)速度大小如圖：沿A、B、C、D的速度環(huán)量為由于各點(diǎn)速度不等，取各邊始端點(diǎn)的速度的平均值計算環(huán)量：將各點(diǎn)速度代入整理，有：∴stokes定理得證。（水平面）2.有限單連域的stokeslaw:將微元面積的結(jié)果

6、推廣到有限大面積中。把有限大面積劃分成無數(shù)個微元面積，求出每條邊，然后再求和，內(nèi)周線上的環(huán)量相互抵消，只剩下沿外周界線L的環(huán)量。L此式即為有限大單連域stokes定理。即：此定理也可用于復(fù)連域：L1L2AStokeslaw說明，速度環(huán)量Γ不僅可以決定漩渦的存在，還可衡量封閉周線所圍區(qū)域中全部漩渦的總渦強(qiáng)。環(huán)量為零，即總渦強(qiáng)為零；環(huán)量不為零必然存在漩渦。反之，無旋，環(huán)量為零。問題：沿封閉周線L的環(huán)量Γ為零，是否在所圍面積內(nèi)流體各處都處于無旋狀態(tài)？答：否只有在區(qū)域內(nèi)任一條封閉曲線上的速度環(huán)量皆為零，則區(qū)域內(nèi)的旋渦強(qiáng)度必為零，流動為無旋運(yùn)動。例1：證明平行流的環(huán)量為零。流體以定常速度水平運(yùn)動，

7、在流場中任取一封閉周線1234，求若封閉周線取為圓Γ＝？1234例2：求有間斷面的平行流的速度環(huán)量Γ＝？1234Lbu1u2例3：龍卷風(fēng)的速度分布為試根據(jù)stokeslaw來判斷是否為有旋流動。時時如圖，當(dāng)，流體以ω象剛體一樣轉(zhuǎn)動，稱風(fēng)眼或強(qiáng)迫渦（渦核）。在區(qū)域，流體繞渦核轉(zhuǎn)動，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是圓但本身并沒有旋轉(zhuǎn)稱之為自由渦或勢渦。自由渦rr0ω強(qiáng)制渦復(fù)合渦分別討論自由渦和強(qiáng)制渦。在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)p，過p點(diǎn)做任一封閉曲線ABCD