基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)(I)

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1、第二講　基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.求函數(shù)的定義域主要考慮以下幾點(diǎn)：分母不能為0；偶次根號(hào)下的式子不小于0；對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；a0中a不等于0；注意實(shí)際問(wèn)題中變量的范圍等．2.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)中最活躍的性質(zhì)，它的運(yùn)用主要體現(xiàn)在不等式方面，如比較大小，解抽象函數(shù)不等式等．判斷函數(shù)的單調(diào)性的主要方法(研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集)：(1)定義法，即作差法(主要步驟為：取值——作差——變形——判符號(hào)——下結(jié)論)；(2)圖象法；(3)單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)(實(shí)質(zhì)上是不等式的性質(zhì))；(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷法則；(5)導(dǎo)數(shù)法．3．判斷

2、一個(gè)函數(shù)的奇偶性時(shí)，要注意函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，那么該函數(shù)一定不具有奇偶性．若奇函數(shù)y＝f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0，靈活使用這一結(jié)論可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程．若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則f(x)＝f(

3、x

4、)，利用這個(gè)性質(zhì)，可以避免一些分類討論，有利于靈活利用函數(shù)的單調(diào)性．4．解決與分段函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，最重要的就是掌握邏輯劃分思想，即將問(wèn)題分段解決，還要熟練掌握研究分段函數(shù)性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性等)的一般方法；解決與抽象函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，最重要的是掌握賦值法，并善于根據(jù)題目條件尋找該函數(shù)的一個(gè)原型，幫助探求結(jié)論，找到解題的思路和方法．5．函數(shù)的周期

5、性的定義及常用結(jié)論一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期；若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則f(x)是周期函數(shù)，

6、b－a

7、是它的一個(gè)周期；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則f(x)是周期函數(shù)，2a是它的一個(gè)周期；7．對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系周期性與對(duì)稱性是相互聯(lián)系、緊密相關(guān)的．一般地，若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸x＝a和x＝b(a≠b)，則f(x)必為周期函數(shù)，且2

8、b－a

9、是它的一個(gè)周期；若f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,0)和(b,0)(a≠b)，則f(x)必為周期函

10、數(shù)，且2

11、b－a

12、是它的一個(gè)周期；A．m＝1，n＝1B．m＝1，n＝2C．m＝2，n＝1D．m＝3，n＝1[解析]由于本題是選擇題，可以用代入法來(lái)做，由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)小于0.5.[答案]B解析：若α>0，則f(α)＝α2＝4，α＝2.若α≤0，則f(α)＝－α＝4，α＝－4.答案：B[答案]1變式練習(xí)：考點(diǎn)三：函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)四:函數(shù)的周期性解析：令x＝y(tǒng)＝0?f(0)＝0，令x＝y(tǒng)＝1?f(2)＝2f(1)＋2＝6，令x＝2，y＝1?f(3)＝f(2)＋f(1)＋4＝12，再令x＝3，y＝－3?f(0)＝f(3－3)＝f(3)＋f(－3)－18＝0?f(－3)＝18－f(

13、3)＝6.答案：6解析：2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因?yàn)閒(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，所以有x>0且x－8>0且x(x－8)≤9，解得8

14、f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是以4為一個(gè)周期的函數(shù)．由于f(x)是奇函數(shù)，且0≤x≤1時(shí)，f(x)＝x，可得f(7.5)＝f(2×4－0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故選B.[答案]BD答案：D2．(2011·安徽)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：由已知：f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝－f(－1)．而f(－1)＝2·(－1)2－(－1)＝3，∴f(1)＝－3.答案：A答案：A答案：BBB