多元函數(shù)微分學(xué)相關(guān)概念(III)

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1、多元微積分的概念、理論、方法是一元微積分中相應(yīng)概念、理論、方法的推廣和發(fā)展，它們既有相似之處（概念及處理問題的思想方法）又有許多本質(zhì)的不同，要善于進行比較，既要認識到它們的共同點和相互聯(lián)系，更要注意它們的區(qū)別，研究新情況和新問題，深刻理解，融會貫通。多元函數(shù)微分學(xué)在上冊中，我們討論的是一元函數(shù)微積分，但實際問題中常會遇到依賴于兩個以上自變量的函數(shù)—多元函數(shù)，也提出了多元微積分問題。重點多元函數(shù)基本概念，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，多元函數(shù)極值。難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，多元函數(shù)極值。函數(shù)的微分法從一

2、元函數(shù)發(fā)展到二元函數(shù)本質(zhì)上要出現(xiàn)一些新東西，但從二元函數(shù)到二元以上函數(shù)則可以類推，因此這里基本上只討論二元函數(shù)。①掌握多元函數(shù)基本概念，會表示定義域，了解二元極限、連續(xù)②深刻理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，能熟練求出一階和高階偏導(dǎo)數(shù)，③掌握全微分概念④會求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法，⑤會求曲線的切線、法平面，曲面的切平面和法線，⑥會求多元函數(shù)極值基本要求（1）鄰域（2）區(qū)域一、多元函數(shù)的概念例如，即為開集．例如，例如，連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．（3）聚點說明：?內(nèi)點一定是聚點；?邊界點可能是聚點；例

3、(0,0)既是邊界點也是聚點．?點集E的聚點可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點但不屬于集合．例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合．（4）n維空間說明：?n維空間的記號為?n維空間中兩點間距離公式特殊地當(dāng)時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．?n維空間中鄰域、區(qū)域等概念鄰域：內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．設(shè)兩點為（5）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．例1求的定義域．解所求定義域為（6）二元函數(shù)的圖形（如右圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二、多元函數(shù)的極限（1）定義中的方式可能是多種多

4、樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動點從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點時，函數(shù)都趨于同一常數(shù)。——這是產(chǎn)生本質(zhì)差異的根本原因。（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號性、夾逼準(zhǔn)則、無窮小、等價無窮小代換等，建議自行復(fù)習(xí)，寫出有關(guān)結(jié)論以鞏固和加深理解。說明：證當(dāng)時，原結(jié)論成立．例2求證例3求極限解其中例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法：利用點函數(shù)的形式有例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性

5、．三、多元函數(shù)的連續(xù)性解取當(dāng)時故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（1）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初

6、等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念（注意趨近方式的任意性）多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、小結(jié)思考題不能.例取但是不存在.原因為若取思考題解答練習(xí)題練習(xí)題答案