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1、多元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)多元函數(shù)及其連續(xù)性第一節(jié)多元函數(shù)及其連續(xù)性一多元函數(shù)的概念1.平面點(diǎn)集:將x,y看作平面上的點(diǎn)的坐標(biāo),則兩個(gè)變量的變化范圍就相當(dāng)于平面上的一個(gè)點(diǎn)集.(1)鄰域:(2)內(nèi)點(diǎn):設(shè),如果存在,則稱為E的內(nèi)點(diǎn).全部由內(nèi)點(diǎn)組成的集合稱為開(kāi)集.(3)邊界點(diǎn):若P的任意鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),則P為邊界點(diǎn).邊界點(diǎn)的集合稱為邊界.多元函數(shù)及其微分法設(shè)E為開(kāi)集,若E中任何兩點(diǎn)都能用位于E內(nèi)的折線連接起來(lái),則稱E為開(kāi)區(qū)域.(4)區(qū)域:開(kāi)區(qū)域+邊界稱為閉區(qū)域區(qū)域如果存在正數(shù)M,使得E中任何點(diǎn)到原點(diǎn)的距
2、離都小于M,則稱E為有界域,否則無(wú)界域.注意:以上概念可推廣到n維空間.2.二元函數(shù)的定義設(shè)D是平面點(diǎn)集,若對(duì)于D中的每一個(gè)點(diǎn)P(x,y),變量z按照一定的法則,總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是x,y的二元函數(shù)自變量因變量定義域的范圍為值域例(1)定義域是無(wú)界閉區(qū)域定義域是有界閉區(qū)域11113.二元函數(shù)的圖形將x,y,z看作空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo),則二元函數(shù)通常表示一張曲面.它在xoy面上的投影就是函數(shù)的定義域.二.二元函數(shù)的極限定義:設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義,是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn),當(dāng)時(shí)則xyzz=f(x,
3、y)也可表示為注:(1).二元函數(shù)的極限稱為二重極限;(2).二重極限存在,是指P(x,y)以任何方式趨于時(shí),f(x,y)都無(wú)限接近于A.故如果P(x,y)沿不同路徑趨于時(shí),f(x,y)趨于不同的值,可斷定極限不存在.(3).以上定義可推廣到n元函數(shù).(4).極限運(yùn)算法則與一元類(lèi)似.當(dāng)P(x,y)沿x軸和y軸趨于(0,0)時(shí),f(x,y)趨于0.當(dāng)P(x,y)沿y=x趨于(0,0)時(shí),f(x,y)趨于1/2.故不存在.例2.例1.三.二元函數(shù)的連續(xù)性定義:設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有定義,是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且,若
4、則稱f(x,y)在點(diǎn)處連續(xù).注:(1).若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)或f(x,y)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).(2).二元連續(xù)函數(shù)具有與一元連續(xù)函數(shù)類(lèi)似的性質(zhì).例如:和,差,積,商及復(fù)合性質(zhì).例如:有界閉域上的二元連續(xù)函數(shù)也有最大(小)值定理和介值定理.(3).二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成的一個(gè)式子的函數(shù)定理1在有界閉域D上連續(xù)的函數(shù)f(x,y)必有最大值和最小值.定理2在有界閉域D上連續(xù)的函數(shù)f(x,y),如果在D上取得兩個(gè)不
5、同的函數(shù)值,則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次.此結(jié)論對(duì)研究二元函數(shù)的連續(xù)性和求極限很有幫助.例3.初等函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)例4.例5.討論連續(xù)性:初等函數(shù)除外處處連續(xù).除(0,0)外處處連續(xù).(0,0)點(diǎn)極限不存在間斷線
