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1、1第八章方差分析與正交試驗設計單因素方差分析雙因素方差分析正交試驗設計2在科學試驗和生產實際中，影響一事物的因素往往很多.例如，在藥品生產中，有原料成分、原料比例、溫度、時間、機器設備、操作人員水平等許多因素，每一個因素的改變都可能影響產品的質量和數(shù)量.在眾多影響因素中，有的影響較大，有的影響較小.因此，常常需要分析哪幾種因素對產品質量和產量有顯著影響.為了解決這類問題，一般需要做兩步工作.引言3第一步是設計一個試驗，使得這個試驗一方面能很好地反映我們所感興趣的因素的作用，另一方面試驗的次數(shù)要盡可能地少，盡可能地節(jié)約人力、物力和時間.其次是如何充分地利用試
2、驗結果的信息，對我們所關心的事物（因素的影響）作出合理地推斷.；前者通常稱為試驗設計，后者最常用的統(tǒng)計方法就是方差分析..化工產品的數(shù)量和質量反應溫度壓力原料成分原料劑量溶液濃度操作水平反應時間機器設備§1單因素方差分析5方差分析按影響試驗指標的因素個數(shù)進行分類，可分為:單因素方差分析雙因素方差分析多因素方差分析1實例例1燈絲的配料方案選優(yōu)某燈泡廠用四種不同配料方案制成的燈絲生產了四批燈泡，在每批燈泡中隨機地抽取若干個測得其使用壽命（單位：小時），所得數(shù)據(jù)如表8—1.試問：這四批燈絲生產的燈泡，其使用壽命有無顯著差異？.一數(shù)學模型表8－1燈泡使用壽命數(shù)據(jù)表
3、在這個例子里，燈泡使用壽命稱為試驗結果或試驗指標，試驗中，除燈絲外其它條件相同，燈絲的配料方案本身稱為因素，四種配料方案稱為四個水平，因此本例稱為一個因素四個水平的試驗.2基本概念方差分析——根據(jù)試驗的結果進行分析,鑒別各個有關因素對試驗結果的影響程度.試驗指標——試驗中要考察的指標.因 素——影響試驗指標的條件.因素可控因素不可控因素水 平——因素所處的狀態(tài).單因素試驗——在一項試驗中只有一個因素改變.多因素試驗——在一項試驗中有多個因素在改變.在每一個水平下進行獨立試驗,結果是一個隨機變量,將數(shù)據(jù)看成是來自四個總體的樣本值.例1問題分析倘若使用壽命
4、無顯著差異，我們就可以從中選一種既經濟又方便的配料方案；如果有顯著差異，則希望選一種較優(yōu)的配料方案，以便提高燈泡的使用壽命.檢驗假設進一步假設各總體均為正態(tài)變量,且各總體的方差相等,但參數(shù)均未知.問 題——檢驗同方差的多個正態(tài)總體均值是否相等.解決方法——方差分析法,一種統(tǒng)計方法.例2設有三臺機器,用來生產規(guī)格相同的鋁合金薄板.取樣,測量薄板的厚度精確至千分之一厘米.得結果如下表所示.鋁合金板的厚度機器Ⅰ機器Ⅱ機器Ⅲ0.2360.2380.2480.2450.2430.2570.2530.2550.2540.2610.2580.2640.2590.267
5、0.262試驗指標:薄板的厚度因素:機器水平:不同的三臺機器是因素的三個不同的水平假定除機器這一因素外,其他條件相同,屬于單因素試驗.試驗目的:考察各臺機器所生產的薄板的厚度有無顯著的差異.即考察機器這一因素對厚度有無顯著的影響.例3下表列出了隨機選取的、用于計算器的四種類型的電路的響應時間（以毫秒計）.表電路的響應時間類型Ⅰ類型Ⅱ類型Ⅲ191522201820402133271617151826類型Ⅳ182219試驗指標:電路的響應時間因素:電路類型水平:四種電路類型為因素的四個不同的水平單因素試驗試驗目的:考察電路類型這一因素對響應時間有無顯著的影響.
6、例4一火箭用四種燃料,三種推進器作射程試驗.每種燃料與每種推進器的組合各發(fā)射火箭兩次,得射程如下（以海里計）.表火箭的射程推進器(B)B1B2B3燃料(A)A1A2A3A458.252.649.142.860.158.375.871.556.241.254.150.570.973.258.251.065.360.851.648.439.240.748.741.4試驗指標:射程因素:推進器和燃料水平:推進器有3個,燃料有4個雙因素試驗試驗目的:考察推進器和燃料兩因素對射程有無顯著的影響.數(shù)學模型表9.4觀察結果水平樣本總和樣本均值總體均值假設單因素試驗方差分
7、析的數(shù)學模型需要解決的問題1.檢驗假設數(shù)學模型的等價形式總平均原數(shù)學模型改寫為檢驗假設等價于檢驗假設二統(tǒng)計分析1假設檢驗下面我們來構造檢驗假設用的統(tǒng)計量.首先分析一下各個為什么不相等？即引起波動（差異）的原因是什么？這里有兩個原因：其一，當假設成立時，有，各個的波動完全由重復試驗中的隨機誤差引起.其二，當假設不成時,，各個的數(shù)學期望不同，當然取值也不會一致.因此，我們想用一個量來刻劃各個之間的波動程度，并且把引起波動的兩個原因區(qū)分開來，這就是方差分析的總偏差平方和分解方法，并由此構造檢驗用的統(tǒng)計量.—數(shù)據(jù)的總平均—總偏差平方和（總變差）平方和的分解證明:定
8、理一(平方和分解定理）在單因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式
