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1、6.4無窮區(qū)間上的反常積分簡介6.4.1無窮區(qū)間上的反常積分的概念6.4.2無窮區(qū)間上反常積分計算舉例例1求由曲線y=e-x，y軸及x軸所圍成開口曲邊梯形的面積.解這是一個開口曲邊梯形，為求其面積，任取b?[0,+?)，在有限區(qū)間[0,b]上，以曲線y=e-x為曲邊的曲邊梯形面積為by=e-xyxO(0,1)開口曲邊梯形的面積一、無窮區(qū)間上的廣義積分y=e-xyxbO(0,1)即當(dāng)b?+?時，陰影部分曲邊梯形面積的極限就是開口曲邊梯形面積，定義1設(shè)函數(shù)f(x)在[a,+?)上連續(xù)，取實數(shù)b>a，如果
2、極限則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+?)上的廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即存在，否則稱廣義積分發(fā)散.定義2設(shè)函數(shù)f(x)在(-?,b]上連續(xù)，取實數(shù)a>b，如果極限則稱此極限值為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-?,b]上的廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即存在，否則稱廣義積分發(fā)散.定義3設(shè)函數(shù)f(x)在(-?,+?)內(nèi)連續(xù)，且對任意實數(shù)c，如果廣義積分則稱上面兩個廣義函數(shù)積分之和為f(x)在無窮區(qū)間(-?,+?)內(nèi)的廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即都收斂，否則稱廣義積分發(fā)散.若
3、F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，并記則定義1，2，3中的廣義積分可表示為例2求解例3判斷解由于當(dāng)x?+?時，sinx沒有極限，所以廣義積分發(fā)散.例4計算解用分部積分法，得例5判斷解故該積分發(fā)散.例6證明反常積分當(dāng)p>1時，收斂；當(dāng)p≤1時，發(fā)散.證p=1時，則所以該反常積分發(fā)散.當(dāng)p>1時，綜合上述，該反常積分收斂.當(dāng)p≤1時，該反常積分發(fā)散.p?1時，則定義4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上連續(xù)，取e>0，如果極限則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b]上的反常積分，這時也稱反常積分收斂，否則稱
4、反常積分發(fā)散.且記作即存在，二、無界函數(shù)的廣義積分定義5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，取e>0，如果極限則稱此極限值為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上的反常積分.這時也稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散.且即存在，定義6設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點c?(a,b)外連續(xù)，如果下面兩個反常積分則稱這兩個反常積分之和為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的反常積分，這時也稱反常積分收斂，否則，稱反常積分發(fā)散.記作即都收斂，若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則定義4，5，6中的反常積分可表示為例7判斷解
5、故積分的收斂.-例8討論反常積分解當(dāng)p=1時，則故積分發(fā)散.當(dāng)p?1時綜上所述，得：當(dāng)p<1時，該反常積分收斂，≥
