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《考研輔導(dǎo)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計這一章可以分為概率論和數(shù)理統(tǒng)計兩部分，基本思想是用隨機的思想來研究隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。其內(nèi)容是學(xué)習(xí)隨機事件和概率、隨機變量及其概率分布、二維隨機變量及其聯(lián)合概率分布、隨機變量的數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、參數(shù)估計、假設(shè)檢驗等知識。在研究生入學(xué)考試中，本章是《高等數(shù)學(xué)一》、《高等數(shù)學(xué)三》和《高等數(shù)學(xué)四》的考試內(nèi)容。通過這一章的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為應(yīng)達(dá)到如下要求：1、對于隨機事件，特別是隨機變量及其分布函數(shù)、二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù)應(yīng)該有清晰的概念。2、對于隨機性的方法能運用自如。3、具備對實際問題理解能力，定性分析和定量計
2、算相統(tǒng)一的能力和推理、演繹的邏輯思維能力。一、知識網(wǎng)絡(luò)圖23二、典型錯誤分析例1．若P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(AB)=1/4,求P(B
3、A),P(),P()。[錯解].P(B
4、A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=1/2P()=1-P(AB)=3/4P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4[分析]在求P()時，想到利用摩根率是對的，但摩根率是，故P()=，所以上邊的解題是錯誤的。[正確解].P(B
5、A)=P(AB)/P(A)=(1/4)/(1/2)=
6、1/2P()==1-P(A)-P(B)+P(AB)=1-1/2-1/3+1/4=5/12P()=P()+P(B)-P(B),其中P(B)=P(B-AB)=1/3-1/4=1/12所以P()=（1-1/2）+1/3-1/12=3/4例2.一個家庭中有兩個小孩，如果已知老大是女孩，則老二也是女孩的概率為多大？如果已知其中有一個女孩，則另一個也是女孩的概率是多大？[錯解].，則有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率為；對第二問，由于生男與生女是相互獨立的，故已知其中有一個是女孩，另一個也是女孩的概率也是。[分析]一般假設(shè)各胎生男與生女是獨立的且可能性相同。第一問是
7、比較容易解決的，關(guān)鍵是要注意第二問與第一問的區(qū)別，在第二問中條件事件是理解為至少有一個是女孩。23[正確解].，則有，且，于是，即已知老大是女孩的前提下，老二也是女孩的概率為；對第二問，條件事件是“兩個孩子至少有一個是女孩”，相應(yīng)求事件就可以表述為“兩個孩子均為女孩”，問題于是歸結(jié)為求，由，，于是，即已知其中有一個是女孩的條件下，另一個也是女孩的概率為。例3.設(shè)隨機變量X的概率密度為，試求：（1）常數(shù)A及X的分布函數(shù)；（2）在兩次獨立觀察中，X都取小于0的數(shù)值的概率。[錯解](1)由于=1，即，故A=2,則X的分布函數(shù)為(2)設(shè)兩次觀察中X取小于0的次數(shù)為，則，其中，于是所求得
8、概率為。[分析]解本題目的關(guān)鍵是要熟練的應(yīng)用概率密度函數(shù)的性質(zhì)，即，來求出常數(shù)A，而錯解中所用到的性質(zhì)是錯誤的，故影響了下面的解題。[正確解](1)由概率密度的性質(zhì)知，所以,23則X的分布函數(shù)為(2)設(shè)兩次觀察中X取小于0的次數(shù)為，則，其中，于是所求的概率為。例4.(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下表所示：XY-2-112140000證明X,Y之間不相關(guān)。[錯證]邊緣概率分布如下：X-2-112PY14P0因為，所以X與Y不相互獨立，所以X與Y不相關(guān)[分析]不相關(guān)和獨立的關(guān)系是：獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定不獨立，故上邊的證明是錯誤的。[正確證明]邊緣概率分布如下：X-2-112P
9、23Y14P0可得到，則，所以X與Y不相關(guān)，例5.設(shè)隨機變量X服從區(qū)間上的均勻分布，隨機變量Y服從二項分布B(3,)，且X與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5，求U=X+Y與V=X-2Y的相關(guān)系數(shù)。[錯解]因為EX=0,EY=1，故E(X+Y)=EX+EY=1,E(X-2Y)=EX+2EY=2又因為DX=,DY=2/3,E（UV）=-3-,所以=1+,同理可求DV=3-,故[分析]解本題的關(guān)鍵是要記準(zhǔn)公式和常用分布的期望和方差，上面的解題過程就是由于沒有正確地運用公式和結(jié)論，因而是錯誤的。[正確解]由題意知EX=0,DX=,EY=np=1,DY=np(1-p)=2/3，從而有E(U)=E(X
10、+Y)=EX+EY=1，E(V)=E(X-2Y)=EX-2EY=-2，E（UV）=-3-,故COV（U，V）=EUV-EUEV=，=1+，同理可求DV=3-2,則帶入可求的23例6.設(shè)兩個相互獨立的隨機變量X和Y的方差分別為4和2，則隨機變量3X-2Y的方差是______[錯解]D(3X-2Y)=3DX-2DY=8[分析]由于X和Y相互獨立，則協(xié)方差為0，故可以得到公式。所以上面的解題是錯誤的。[正確解]由于X和Y相互獨立，則協(xié)方差為0，故可以得到公式=44例7.設(shè)隨機變量的概率分布為。（1
