關(guān)于Logistic模型的研究

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1、蘭州大學(xué)2011級(jí)物理萃英班Logistic模型的研究Logistic模型是研究有限空間內(nèi)生物種群數(shù)量演化的重要數(shù)學(xué)模型，因?yàn)長(zhǎng)ogistic模型能夠?qū)⑸飻?shù)量的增長(zhǎng)受環(huán)境限制的因素考慮在內(nèi)，所以由它衍生出的很多生態(tài)模型都在生態(tài)調(diào)查、人口預(yù)測(cè)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。目錄一維非線性迭代方程的性質(zhì)研究分岔圖與自相似性參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響穩(wěn)定性周期性混沌性對(duì)系統(tǒng)混沌性的研究從迭代方程變?yōu)槲⒎址匠逃媒馕龇ㄅc數(shù)值計(jì)算法求解微分方程一維非線性迭代方程的性質(zhì)研究一維Logistic模型可以用遞推方程來(lái)表示，表示某一的種群第n代的數(shù)量。其中，參數(shù)a在（0,4）之間，的取值

2、在（0,1）之間。1、分岔圖與自相似性通過(guò)Fortran語(yǔ)言編程可以很容易實(shí)現(xiàn)對(duì)上式得迭代計(jì)算，考慮到參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響，故先畫(huà)出該系統(tǒng)以a為控制變量的分岔圖。programdemo1integern,irealx0,x,a,hopen(10,file='x-a.txt')x0=0.5h=0.0001n=1000write(out,*)0,xdoa=0.1,4.001,hx=x0doi=1,n,1x=a*x*(1-x)write(10,*)a,xenddoenddoend1、分岔圖與自相似性X0=0.5在每個(gè)分岔點(diǎn)處分岔圖都會(huì)自動(dòng)分型，且局部放大后的

3、圖形與整體形狀相似。2、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響programdemo2realx,a;integerix=0.5；a=0.5open(10,file=’x-n’)doi=1,100,1x=a*x*(1-x)write(10,*)i,xenddoclose(10)end通過(guò)左邊的代碼畫(huà)出不同a所對(duì)應(yīng)的x-n曲線，發(fā)現(xiàn)a在一下不同區(qū)間時(shí)函數(shù)曲線的性狀不同。2、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響——穩(wěn)定性，系統(tǒng)穩(wěn)定，趨于零，系統(tǒng)處于穩(wěn)定區(qū)2、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響——周期性，振蕩T=2，振蕩T=42、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響——周期性，振蕩，周期倍增如圖，a=3.5643時(shí)，T=82、

4、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響——混沌性4，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)周期為正無(wú)窮x取值出現(xiàn)隨機(jī)性2、參數(shù)a對(duì)系統(tǒng)的影響——逃逸性，系統(tǒng)處于逃逸狀態(tài)x的值趨于無(wú)窮大不能再用于描述生態(tài)系統(tǒng)例:a=4.5，x0=0.01,0.02,0.03…0.10注意：縱坐標(biāo)為3、對(duì)系統(tǒng)混沌性的研究當(dāng)4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)多次迭代后x的取值具有隨機(jī)性，經(jīng)測(cè)試，隨機(jī)數(shù)質(zhì)量不高（x0=0.3，a=3.7，迭代100000次的平均值為0.66715，離0.5偏離了33.43%.）3、對(duì)系統(tǒng)混沌性的研究當(dāng)4時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)多次迭代后x的取值具有隨機(jī)性，經(jīng)測(cè)試，隨機(jī)數(shù)質(zhì)量不高對(duì)初值具有敏感性先看

5、穩(wěn)定區(qū)的情況令a=2,x0=0.1,0.3,0.5,0.7,0.9依次迭代5005次，輸出的最后5次等于0.5000000，說(shuō)明穩(wěn)定區(qū)對(duì)初值不敏感3、對(duì)系統(tǒng)混沌性的研究對(duì)初值具有敏感性先看穩(wěn)定區(qū)的情況——對(duì)初值不敏感再看混沌區(qū)的情況3、對(duì)系統(tǒng)混沌性的研究對(duì)初值具有敏感性先看穩(wěn)定區(qū)的情況——對(duì)初值不敏感再看混沌區(qū)的情況——對(duì)初值非常敏感取a=3.85，結(jié)果見(jiàn)下表：0.110.120.130.140.150.96131660.13952850.14945670.15858940.14153040.14316980.46223220.48940950.51

6、373940.46777330.47228790.95700830.96206810.96177320.95850150.95954330.15840210.14049820.14154720.15313900.14945670.51324700.46492000.46781950.4992966從迭代方程變?yōu)槲⒎址匠蘹不連續(xù)，n只能取自然數(shù)常微分方程形式等價(jià)從迭代方程變?yōu)槲⒎址匠虄蛇呁瑴pxn得：當(dāng)時(shí)，從迭代方程變?yōu)槲⒎址匠塘顑?nèi)稟增長(zhǎng)率環(huán)境容納量微分方程的求解1、分離變量法兩邊積分，利用初始值，解得：微分方程的求解1、分離變量法symstx1x2x3

7、x4t=0:0.001:12;x1=100./(1+(100/50-1)*exp(-0.7*t));x2=100./(1+(100/80-1)*exp(-0.7*t));x3=100./(1+(100/120-1)*exp(-0.7*t));x4=100./(1+(100/150-1)*exp(-0.7*t));y=100;plot(t,y,t,x1,t,x2,t,x3,t,x4)用Matlab作圖，取N=100：微分方程的求解2、四階Runge-Kutta算法programdemo4implicitnonereal*8x,x1,t,x0,hreal

8、*8k1,k2,k3,k4real*8,external::fx0=20h=0.001x=x0;t=0ope