隨機波動率與股票價格的波動率

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1、第5章隨機波動率引言BS模型和隱含波動率波動率的一些特征事實離散時間模型連續(xù)時間模型第6章股票價格的波動率引言統(tǒng)計問題——非模型估計法基于模型估計法引言隨機波動率（SV）模型產(chǎn)生于數(shù)理金融學(xué)和金融計量學(xué)。SV模型的幾種變形來源于對不同問題的研究：Clark認為資產(chǎn)收益率是信息到達這一隨機過程的函數(shù)，這種所謂的時間形變方法產(chǎn)生了資產(chǎn)收益率的時變波動率模型；Tauchen和Pitts提出了資產(chǎn)收益率與信息到達短暫相關(guān)的混合分布模型；Hull和White提出資產(chǎn)價格服從擴散過程，其波動率為正擴散過程等。瞬時波動率是一個標準布朗運動。標準布朗運動（維納過程）定義如下：設(shè)代表一個小的時間間隔長度，

2、代表變量z在時間內(nèi)的變化，遵循標準布朗運動的具有兩種特征：特征1：和的關(guān)系滿足（1）：（1）其中，代表從標準正態(tài)分布（即均值為0、標準差為1的正態(tài)分布）中取的一個隨機值。特征2：對于任何兩個不同時間間隔,的值相互獨立考察變量z在一段較長時間T中的變化情形，我們可得：（2）當時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：（3）Black-Scholes模型假設(shè)：①股票價格遵循Ito（伊藤）過程；②沒有交易成本、稅收和賣空限制，不存在無風(fēng)險套利機會；③標的資產(chǎn)在期權(quán)到期時間之前不支付股息和紅利；④市場交易是連續(xù)的，價格波動也是連續(xù)的；⑤無風(fēng)險利率r為常數(shù)，且對所有的到期日都相等。期權(quán)價格：隨機波動期權(quán)定價

3、模型由于B-S模型的一些假設(shè)在實際中并不成立，特別是假設(shè)波動為常數(shù)，因此Hull和White提出了隨機波動下的期權(quán)定價公式，該模型假設(shè)：Hull和White期權(quán)定價公式如果假定期權(quán)價格服從Hull-White公式，就會產(chǎn)生兩類隱含波動：瞬時隱含波動和平均隱含波動。假設(shè)風(fēng)險中心概率分布屬于一個參數(shù)族，產(chǎn)生一個函數(shù)表達式：期權(quán)隱含波動模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出。其基本原理是根據(jù)B-S期權(quán)定價公式從期權(quán)價格倒推出市場波動性。由于期權(quán)價格反映的是市場未來的波動性，因此應(yīng)用該模型可以預(yù)測波動。隱含平均波動率1、肥尾：尖峰肥尾，利用峰度來衡量，有大量的文章利用肥尾的獨立同分布

4、，為資產(chǎn)收益建模。2、波動率群集：對金融時間序列的任何觀測都表明了高或低波動率時段的聚集，即大的波動后面跟著一個大的波動，小的波動后面跟著一個小的波動。事實上，波動率群集和資產(chǎn)收益肥尾是密切相關(guān)的，后者事實上是一個靜態(tài)的解釋，而ARCH模型的主要作用是給出了動態(tài)（條件）波動率行為和（無條件）肥尾間的正式聯(lián)系。由Engle提出的，并且此后獲得大量擴展的ARCH模型和SV模型，主要就是用于模擬波動率群集的。文獻廣泛討論的還有ARCH效應(yīng)隨著時頻歸并而消失。波動率的一些特征事實3、杠桿效應(yīng)：此現(xiàn)象是指股票價格和波動率呈負相關(guān)。因為下跌的股票價格暗示公司財務(wù)杠桿提高，人們相信這意味著更多的不確定性及更

5、高的波動率。一般杠桿效應(yīng)自身作用太小，不足以解釋股票價格中發(fā)現(xiàn)的不對稱。4、信息到達：隨著時間的變化，信息到達是不均勻的，并且經(jīng)常不能被直接觀測到。（交易量、報價到達、可預(yù)測事件，例如股利通告或者宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)發(fā)布、隔夜和周末市場關(guān)閉）5、長期記憶和持續(xù)性：一般來說，波動率是高度持續(xù)性的。特別是對于高頻率數(shù)據(jù)，證據(jù)表明條件方差過程具有接近單位根的行為。6、波動率的協(xié)同運動：投機市場的跨國協(xié)同作用。7、隱含波動率的相關(guān)性：在金融期權(quán)定價模型中，從實際交易中獲得期權(quán)價格數(shù)據(jù)，可以倒算推導(dǎo)出暗含在期權(quán)價格、持有期限、執(zhí)行價格等條件下波動率的值，即為隱含波動率。人們認為隱含（平均）波動率包含了未來波動率

6、的信息，因此，可以預(yù)測未來波動率。通常對該假設(shè)的檢驗是用已實現(xiàn)波動率對過去的隱含波動率做回歸。8、隱含波動率的期限結(jié)構(gòu)：B-S模型所預(yù)測波動率的期限結(jié)構(gòu)是平緩的。事實上，當短期波動率很低的時候，實價期權(quán)的隱含波動率的期限結(jié)構(gòu)是向上傾斜的，反之則向下傾斜（見Stein,1989)。9、微笑效應(yīng)：價格失真，指隱含波動率在不同執(zhí)行價格時產(chǎn)生的U型模型。①U形模式當處于接近實值的期權(quán)時取其最小值。②波動率的微笑作為函數(shù)常是但不總是對稱的。③到期期限越短，微笑的幅度增長越快。隨機波動模型的起源離散時間模型與GARCH模型的比較對比：連續(xù)時間模型第六章股票價格的波動率6.1引言6.2統(tǒng)計問題①非模型估計法

7、非模型估計法的一些不盡人意的地方：②基于模型估計法