邊緣分布及相互獨立的隨機變量

邊緣分布及相互獨立的隨機變量

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資源描述:

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1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計二維隨機變量及其聯(lián)合分布一、二維隨機變量設(shè)Ω={ω}是隨機試驗E的樣本空間,X=X(ω),Y=Y(ω)是定義在Ω上的隨機變量,則由它們構(gòu)成的一個二維向量(X,Y)稱為二維隨機變量或二維隨機向量。二、離散隨機變量的聯(lián)合分布律P{X=xi,Y=yj}=P{(X=xi)∩(Y=yj)}⑴非負(fù)性⑵歸一性??p?P{X?i,Y?j}?0ij??p?1iji,j?1,2,?i?1j?1三、聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量(X,Y)在直角角形區(qū)域{(X,Y)

2、-∞≤X≤x,-∞≤Y≤y}內(nèi)的取值概率P{X≤x,Y≤y}稱為該二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),記為F(x,y).y?x,y

3、?0x四、二維連續(xù)型隨機變量1.設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y).若存y在非負(fù)函數(shù)f(x,y),可使(x,y)xyF(x,y)???f(u,v)dudv????ox則稱二維隨機變量(X,Y)為連續(xù)型隨機變量,并稱f(x,y)為(X,Y)的聯(lián)合概率密度。F(x,y)可表為某個可積函數(shù)f(x,y)在右上頂點為(x,y)的無窮開放矩形域上的廣義積分.2.聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1)非負(fù)性:f(x,y)≥0????(2)歸一性:??f(x,y)dxdy?1????(3)(X,Y)在任何平面區(qū)域G上的取值概率P{(X,Y)?G}???f(x,y)dxdyG(4)若f(x,y)在(x,

4、y)處連續(xù),則2注意:?F(x,y)?f(x,y)?x?y混合偏導(dǎo)數(shù)!從本質(zhì)上講,聯(lián)合分布所描述的是與兩隨機變量的積事件有關(guān)的概率分布規(guī)律。例如⑴聯(lián)合分布律?p?P{X?i,Y?j}?P?(X?i)?(Y?j)?ij⑵聯(lián)合分布函數(shù)?F(x,y)?P{X?x,Y?y}?P?(X?x)?(Y?y)?⑶聯(lián)合密度函數(shù)22?F(x,y)?f(x,y)??P{X?x,Y?y}?x?y?x?y第二講邊緣分布及相互獨立的隨機變量邊緣分布函數(shù);邊緣分布律、邊緣概率密度Y=y一、邊緣分布1.(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)X和Y作為一維隨機變量(關(guān)于自身)的分布函數(shù)FX(x)和FY(y),分

5、別稱為二維隨機變量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。2.邊緣分布函數(shù)的一般計算方法FX(x)=P{X≤x}X=x=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)FY(y)=P{Y≤y}=………=F(+∞,y)p?P{X?x,Y?y},i,j?1,2,?ijij??P{X?xi}??P{X?xi,Y?yj}??pij?j?1j?1??P{Y?yj}??P{X?xi,Y?yj}??pij?i?1i?1Xxx?x?Y12iy1p11p21?pi1?y2pp?p?1222i2????ypp?p?j1j2jij?????Pi??P{X?xi}??pij,i?1,2,?;j?1?P?j?P{

6、Y?yj}??pij,j?1,2,?.i?1P{X?xi}?pi?P{Y?y}?pi?j???pij?P{X?xi},i?1,2,?j?1?p?j??pij?P{Y?yi},j?1,2,?i?1X123Y123pi?1/31/31/3p?j11/185/181/9Ex.設(shè)一只口袋中有5個球,有兩個球上標(biāo)有數(shù)字1,3個球上標(biāo)有數(shù)字0,現(xiàn)從中:(⑴)有放回地摸兩個球;(2)無放回地摸兩個球;以X表示第一次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字,以Y表示第二次摸到的球上標(biāo)有的數(shù)字,求(X,Y)的聯(lián)合分布律及其兩個邊緣分布律.解:(1)(X,Y)所有可能取值為:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(

7、1,1)則:P{X?0,Y?0}339?P{X?0}P{Y?0

8、X?0}???5525解:(1)(X,Y)所有可能取值為:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)則:P{X?0,Y?0}339?P{X?0}P{Y?0

9、X?0}???5525同理:326P{X?0,Y?1}???,552564P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?2525YX01P{X=xi}09/256/253/516/254/252/5P{Y=y}3/52/51j(2)(X,Y)所有可能取值仍然為:(0,0)、(0,1)、(1,0)、(1,1)323則:P{X?0,Y?0}?P{X?0}P{

10、Y?0

11、X?0}???5410323P{X?0,Y?1}???5410同理31P{X?1,Y?0}?,P{X?1,Y?1}?1010于是(X,Y)的分布律和邊緣分布律如下:YX01P{X=xi}03/103/103/513/101/102/5P{Y=y}3/52/51jYX01P{X=xi}09/256/253/5比比看16/254/252/5P{Y=y}3/52/51j在什么情況下,由邊緣分布可以唯一確定聯(lián)合分布呢?YX01P{X=xi}03/103/103/513/101/102/5P{Y=y}3/52/51j

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