邊緣分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性

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1、邊緣分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性邊緣分布marginaldistribution二維隨機(jī)變量,是兩個(gè)隨機(jī)變量視為一個(gè)整體，來(lái)討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來(lái)描述其取值規(guī)律。問(wèn)題：能否由二維隨機(jī)變量的分布來(lái)確定兩個(gè)一維隨機(jī)變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問(wèn)題邊緣分布marginaldistribution設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，依次稱(chēng)為二維隨機(jī)變量關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)．二維離散型R.v.的邊緣分布如果二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p

2、21p22p23…x3p31p32p33………………二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二維離散型R.v.的邊緣分布關(guān)于X的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二維離散型R.v.的邊緣分布例1設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為YX011/

3、3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于X、Y的邊緣分布關(guān)于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關(guān)于X的邊緣分布為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯(lián)合分布列二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布關(guān)于X的邊緣概率密度為關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于例2設(shè)（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個(gè)邊緣分布密度函數(shù)解由得當(dāng)時(shí)關(guān)于X的邊緣分布密度為113113解所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為所以，關(guān)

4、于Y的邊緣分布密度為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)關(guān)于Y的邊緣分布密度為邊緣分布密度和概率的計(jì)算例3設(shè)（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均勻分布解(1)由得當(dāng)時(shí)-11當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于X的邊緣分布密度函數(shù)為-11續(xù)解………..-11解當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度函數(shù)為解（3）見(jiàn)課本P59例3如果二維隨機(jī)變量（X，Y）服從正態(tài)分布則兩個(gè)邊緣分布分別服從正態(tài)分布與相關(guān)系數(shù)無(wú)關(guān)可見(jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例4設(shè)（X，

5、Y）的聯(lián)合分布密度函數(shù)為求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)解關(guān)于X的分布密度函數(shù)為所以，同理可得不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布?？梢?jiàn)，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性特別，對(duì)于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于★★定義設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，兩個(gè)邊緣分布函數(shù)分別為FX(x),FY(y)，如果對(duì)于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。對(duì)任意i,j對(duì)任意x,y在實(shí)際問(wèn)題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影

6、響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用.?在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說(shuō)明設(shè)（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨(dú)立。例12/51/52/5p.j2/44/202/204/2021/42/201/202/2011/42/201/202/201/2pi.20-1yx逐個(gè)驗(yàn)證等式證∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨(dú)立2/51/52/5p.i20-1X2/41/41/4Pj.211/2Y例2設(shè)（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0

7、≤Y≤1）(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨(dú)立。解①設(shè)A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11②邊緣密度函數(shù)分別為當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)所以，同理可得③所以X與Y相互獨(dú)立。例3已知二維隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線(xiàn)y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨(dú)立。解（X,Y）的密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為關(guān)于X的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)當(dāng)時(shí)，所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為關(guān)于Y的邊緣分布密度為當(dāng)或時(shí)所以所以，X與Y不獨(dú)立。設(shè)（X,Y)服從矩形域上的均勻分

8、布，求證X與Y獨(dú)立。例4時(shí)解于是同理所以即X與Y獨(dú)立。時(shí)