邊緣分布隨機變量的相互獨立性

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1、邊緣分布隨機變量的相互獨立性邊緣分布marginaldistribution二維隨機變量,是兩個隨機變量視為一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數來描述其取值規(guī)律。問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？——邊緣分布問題邊緣分布marginaldistribution設二維隨機變量的分布函數為，依次稱為二維隨機變量關于和關于的邊緣分布函數．二維離散型R.v.的邊緣分布如果二維離散型隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為即YXy1y2y3…x1p11p12p13…x2p

2、21p22p23…x3p31p32p33………………二維離散型R.v.的邊緣分布關于X的邊緣分布關于Y的邊緣分布YXy1y2y3…Pi.x1p11p12p13…P1.x2p21p22p23…P2.x3p31p32p33…P3.………………p.jp.1p.2p.3…二維離散型R.v.的邊緣分布關于X的邊緣分布關于Y的邊緣分布第j列之和Xx1x2x3…概率P1.P2.P3.…第i行之和Yy1y2y3…概率P.1P.2P.3…二維離散型R.v.的邊緣分布例1設二維離散型隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律為YX011/

3、3-101/31/1201/60025/1200求關于X、Y的邊緣分布關于Y的邊緣分布Y011/3概率7/121/31/12解關于X的邊緣分布為X-102概率5/121/65/12YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y）的聯(lián)合分布列二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布關于X的邊緣概率密度為關于Y的邊緣概率密度為的邊緣分布函數為關于的邊緣分布函數為關于例2設（X,Y）的聯(lián)合密度為求k值和兩個邊緣分布密度函數解由得當時關于X的邊緣分布密度為113113解所以，關于X的邊緣分布密度為所以，關

4、于Y的邊緣分布密度為當時當時當時關于Y的邊緣分布密度為邊緣分布密度和概率的計算例3設（X,Y)的聯(lián)合分布密度為（1）求k值(2)求關于X和Y的邊緣密度（3）求概率P(X+Y<1)和P(X>1/2)(2)均勻分布解(1)由得當時-11當時所以，關于X的邊緣分布密度函數為-11續(xù)解………..-11解當時當時所以，關于Y的邊緣分布密度函數為解（3）見課本P59例3如果二維隨機變量（X，Y）服從正態(tài)分布則兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布與相關系數無關可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例4設（X，

5、Y）的聯(lián)合分布密度函數為求關于X，Y的邊緣分布密度函數解關于X的分布密度函數為所以，同理可得不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布隨機變量的相互獨立性特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于★★定義設（X，Y）的聯(lián)合分布函數為F(x,y)，兩個邊緣分布函數分別為FX(x),FY(y)，如果對于任意的x,y都有F(x,y)=FX(x)FY(y)，則稱隨機變量X，Y相互獨立。對任意i,j對任意x,y在實際問題或應用中，當X的取值與Y的取值互不影

6、響時，我們就認為X與Y是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用.?在X與Y是相互獨立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實際意義補充說明設（X，Y）的概率分布（律）為證明：X、Y相互獨立。例12/51/52/5p.j2/44/202/204/2021/42/201/202/2011/42/201/202/201/2pi.20-1yx逐個驗證等式證∵X與Y的邊緣分布律分別為∴X、Y相互獨立2/51/52/5p.i20-1X2/41/41/4Pj.211/2Y例2設（X，Y)的概率密度為求(1)P（0≤X≤1，0

7、≤Y≤1）(2)(X,Y)的邊緣密度，（3）判斷X、Y是否獨立。解①設A={（x，y）：0≤x≤1，0≤y≤1）}11②邊緣密度函數分別為當時當時所以，同理可得③所以X與Y相互獨立。例3已知二維隨機變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，D為x軸，y軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)域。判斷X，Y是否獨立。解（X,Y）的密度函數為當時，所以，關于X的邊緣分布密度為關于X的邊緣分布密度為當或時當時，所以，關于Y的邊緣分布密度為關于Y的邊緣分布密度為當或時所以所以，X與Y不獨立。設（X,Y)服從矩形域上的均勻分

8、布，求證X與Y獨立。例4時解于是同理所以即X與Y獨立。時