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《高鐵梅老師的EVIEWS教學(xué)課件第二十二章狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第二十二章狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波StateSpaceModelsandKalmanFilter上世紀(jì)60年代初,由于工程控制領(lǐng)域的需要,產(chǎn)生了卡爾曼濾波(KalmanFiltering)。進(jìn)入70年代初,人們明確提出了狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式,并開始將其應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域。80年代以后,狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。許多時(shí)間序列模型,包括典型的線性回歸模型和ARIMA模型都能作為特例寫成狀態(tài)空間的形式,并估計(jì)參數(shù)值。在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中,狀態(tài)空間模型被用來估計(jì)不可觀測的時(shí)間變量:理性預(yù)期,測量誤差,長期收入,不可觀測因素(
2、趨勢和循環(huán)要素)。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟(jì)計(jì)量學(xué)領(lǐng)域其他方面的大量應(yīng)用請參見Hamilton(1994)和Harvey(1989)。在一般的統(tǒng)計(jì)模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測到的,這些模型以反映過去經(jīng)濟(jì)變動(dòng)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ),利用回歸分析或時(shí)間序列分析等方法估計(jì)參數(shù),進(jìn)而預(yù)測未來的值。狀態(tài)空間模型的特點(diǎn)是提出了“狀態(tài)”這一概念。而實(shí)際上,無論是工程控制問題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)(如導(dǎo)彈軌跡的控制問題)還是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所存在的某些狀態(tài)都是一種不可觀測的變量,正是這種觀測不到的變量反映了系統(tǒng)所具有的真實(shí)狀態(tài),所以被稱為狀態(tài)向量。這種含有不可觀測
3、變量的模型被稱為UC模型(UnobservableComponentModel),UC模型通過通常的回歸方程式來估計(jì)是不可能的,必須利用狀態(tài)空間模型來求解。狀態(tài)空間模型建立了可觀測變量和系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系,從而可以通過估計(jì)各種不同的狀態(tài)向量達(dá)到分析和觀測的目的。EViews狀態(tài)空間對象對單方程或多方程動(dòng)態(tài)系統(tǒng)提供了一個(gè)直接的、易于使用的界面來建立、估計(jì)及分析方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測工具,幫助我們利用狀態(tài)空間形式來分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。利用狀態(tài)空間形式表示動(dòng)態(tài)系統(tǒng)主要有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):第一,狀態(tài)空間模型將不可觀測的
4、變量(狀態(tài)變量)并入可觀測模型并與其一起得到估計(jì)結(jié)果;其次,狀態(tài)空間模型是利用強(qiáng)有效的遞歸算法——卡爾曼濾波來估計(jì)的??柭鼮V波可以用來估計(jì)單變量和多變量的ARMA模型、MIMIC(多指標(biāo)和多因果)模型、馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型?!?2.1狀態(tài)空間模型理論及方法在本節(jié)中,我們僅就如何定義并預(yù)測一個(gè)線性狀態(tài)空間模型做以簡要的討論,更為詳細(xì)的內(nèi)容可以查詢Hamilton(1994)、Harvey(1993)。一、模型表示維向量的動(dòng)態(tài)線性狀態(tài)空間表示可通過下面的方程組給出:(22.1)(22.2)式中,為維不可觀測的狀態(tài)向量
5、,是服從于零均值正態(tài)分布的擾動(dòng)向量。不可觀測的狀態(tài)向量假定服從于一階向量自回歸過程。我們將第一個(gè)方程稱為“信號”或“量測”方程,第二個(gè)方程稱為“狀態(tài)”或“轉(zhuǎn)移”方程。擾動(dòng)向量的同一時(shí)刻的協(xié)方差矩陣為:(22.3)Zt,Tt,Ht,Qt和ct,dt被稱為系統(tǒng)矩陣或向量。系統(tǒng)矩陣Zt,Tt,Ht,Qt可以依賴于一個(gè)未知參數(shù)的集合。狀態(tài)空間模型的一個(gè)主要的任務(wù)就是估計(jì)這些參數(shù),如例1和例2中MA(1)和AR(2)模型的MA和AR參數(shù)?,?是未知的。為了和模型中的其它參數(shù),如ct或dt相區(qū)別,這些參數(shù)將通過?向量表示,并被稱為超參數(shù)
6、(Hyperparameters)。超參數(shù)確定了模型的隨機(jī)性質(zhì),而在ct和dt中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量做為解釋變量,也可以引入yt的延遲變量,這些都可以放到ct中去。如果ct或dt是未知參數(shù)的一個(gè)線性函數(shù),這些參數(shù)也可以作為超參數(shù)的一部分元素。[例1]一階移動(dòng)平均模型MA(1)(22.4)通過定義狀態(tài)向量可以寫成狀態(tài)空間形式量測方程(22.5)狀態(tài)方程(22.6)這種形式的特點(diǎn)是不存在量測方程噪聲。對于任何特殊的統(tǒng)計(jì)模型,狀態(tài)向量的定義是由結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包
7、含具有實(shí)際解釋意義的成分,例如趨勢或季節(jié)要素。狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是,所建立的狀態(tài)向量包含了系統(tǒng)在時(shí)刻t的所有有關(guān)信息,同時(shí)又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù),則稱為最小實(shí)現(xiàn)(MinimalRealization)。對一個(gè)好的狀態(tài)空間模型,最小實(shí)現(xiàn)是一個(gè)基本準(zhǔn)則。然而對于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的,這一點(diǎn)很容易驗(yàn)證。考慮通過定義一個(gè)任意的非奇異矩陣B,得到,為新的狀態(tài)向量。用B矩陣左乘狀態(tài)方程(22.2),得到(22.7)式中,,。相應(yīng)的量測方程是(22.8)式中。[例2]對
8、二階自回歸模型AR(2)(22.9)考慮兩個(gè)可能的狀態(tài)空間形式()是(22.10)(22.11)換一種形式(22.12)[例3]由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響,經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化,用OLS等固定參數(shù)模型表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的變化,因此,需要考慮采用變參數(shù)模型(Time-v