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1、..論閉環(huán)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響作者：徐然班級：09電本一班學(xué)號：4090208122摘要：實(shí)際工作中常?？梢园岩粋€高階系統(tǒng)降為二階系統(tǒng)來處理,因此分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),對于研究自動控制系統(tǒng)的暫態(tài)特性具有重要意義。二階系統(tǒng)在欠阻尼時的響應(yīng)雖有振蕩,但阻尼比ξ取值恰當(dāng),則系統(tǒng)既有響應(yīng)的快速性,又有過渡過程的平穩(wěn)性,因此在控制過程中常把二階系統(tǒng)設(shè)計(jì)為欠阻尼。大多數(shù)高階系統(tǒng)中含有一對閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn),則該系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)就可以近似的用這對主導(dǎo)極點(diǎn)所描述的二階系統(tǒng)來表達(dá)。本文是通過直接求解系統(tǒng)在單位階躍信號作用
2、下的時域響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能的。通過對設(shè)零點(diǎn)系統(tǒng)與未設(shè)零點(diǎn)系統(tǒng)上升時間、峰值時間、最大超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間暫態(tài)特性各個方面的對比,以及零點(diǎn)位置的變化對各動態(tài)性能變化趨勢最終找到閉環(huán)零點(diǎn)對實(shí)際二階系統(tǒng)的作用效果。關(guān)鍵詞：自動控制二階系統(tǒng)零點(diǎn)0.引言由二階微分方程描述的系統(tǒng),稱為二階系統(tǒng)。欠阻尼振蕩的二階系統(tǒng)在實(shí)際中可以看成是穩(wěn)定的系統(tǒng),因此分析欠阻尼系統(tǒng)具有實(shí)際意義。二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是反映二階系統(tǒng)本質(zhì)的重要表現(xiàn)形式。我們在實(shí)際生產(chǎn)過程中,二階系統(tǒng)總是需要滿足工程最佳參數(shù)的要求,但是通過改變開環(huán)放大系數(shù)的方法可能會
3、增大系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。因此需要通過設(shè)置零點(diǎn)的方法從而達(dá)到既滿足工程所需的阻尼比,又保證系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的目的。正是由于閉環(huán)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)如此重要,所以此文主要分析閉環(huán)零點(diǎn)對二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響。1.二階系統(tǒng)一個系統(tǒng)的階次是由其最簡閉環(huán)傳遞函數(shù)分母S的最高次項(xiàng)決定的。二階系統(tǒng)就是S的最高次項(xiàng)為2的閉環(huán)傳遞函數(shù)所對應(yīng)的系統(tǒng)典型。簡單來說就是由二階微分方程描述的系統(tǒng)就叫做二階系統(tǒng)。1.1二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖可知二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：Word完美格式..1.2二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)當(dāng)輸入為單位階躍信號
4、時故取拉氏逆變換有①其中1.3二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布圖σ1.4二階系統(tǒng)動態(tài)特性1.4.1上升時間令①中則有得②1.4.2峰值時間Word完美格式..令①中則第一個峰值對應(yīng)的時間③1.4.3最大超調(diào)量由于且得④1.4.4調(diào)節(jié)時間⑤1.具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的動態(tài)分析2.1具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及傳遞函數(shù)帶零點(diǎn)的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖：具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：τ——時間常數(shù)令=z,則上式可寫為如下形式：⑥由式⑥可得,其系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有零點(diǎn)-z,是具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)將式⑥分解,由Word完美格式..得2.2具有零點(diǎn)的
5、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為求其階躍響應(yīng),設(shè),取初始條件為零,則Xc1(s)和Xc(s)的拉氏反變換為⑦求出⑦中兩項(xiàng)然后相加即得輸出量,經(jīng)過運(yùn)算得⑧上述式子中的l為極點(diǎn)與零點(diǎn)間的距離,在復(fù)平面上畫出其位置（假設(shè)零點(diǎn)在極點(diǎn)左側(cè)）：Zl-θ-Zφjwσ圖1復(fù)平面上的零點(diǎn)與極點(diǎn)分布由圖1可知：故式子⑧可以寫成：⑨式子中：Word完美格式..令,則上式中的可以寫為r代表閉環(huán)傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部與零點(diǎn)實(shí)部之比。因此式子⑨可以寫為：⑩由此計(jì)算得到了典型的具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式,即為公式⑩。3.具有零點(diǎn)的二階系
6、統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)由公式⑩得到了具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的公式：3.1上升時間在動態(tài)過程中,系統(tǒng)的輸出第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時間稱為上升時間。根據(jù)定義在公式⑩中令時,,得=0但在期間,即沒有達(dá)到最終穩(wěn)定之前,>0,所以使上式為0的原因是=0,因此討論=0所出現(xiàn)的情況。由=0得：=πWord完美格式..由上式可以看出上升時間受到,,,θ的影響,當(dāng),,θ一定的時候,上升時間只與有關(guān)。θ-zφ-p1z圖2零點(diǎn)實(shí)部小于極點(diǎn)實(shí)部圖4零點(diǎn)實(shí)部大于極點(diǎn)實(shí)部-p1-zφθz圖3零點(diǎn)實(shí)部等于極點(diǎn)實(shí)部z-zθφ-p1由圖2,圖3,
7、圖4可以看出隨著z值的減小,零點(diǎn)越來越靠近虛軸,φ值逐漸增大,由可得逐漸減小。3.2最大超調(diào)量σ%最大超調(diào)量發(fā)生在第一周期中時刻,即導(dǎo)數(shù)為0的時刻。得因此即因?yàn)榈谝淮芜_(dá)到最大值經(jīng)過時間,因此n取值為1,當(dāng)n=1時,有式子可以看出,的值隨φ的值增大而減小,結(jié)合圖2,圖3,圖4得到結(jié)論：z值逐漸減小,φ值逐漸增大,逐漸減小。3.3調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間是與穩(wěn)態(tài)值Word完美格式..之間的偏差達(dá)到允許的范圍而不再超出的動態(tài)過程時間。在動態(tài)過程中的偏差為當(dāng)時采用近似計(jì)算法得到：（或0.02）由此求得調(diào)節(jié)時間為：,0<ξ<0.9
8、,0<ξ<0.9由上面的兩個式子可以看出,具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間只與ξ和有關(guān),與z的大小無關(guān)。3.4振蕩次數(shù)μ振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時間內(nèi),波動的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為：其中即阻尼振蕩的周期時間。由上述公式可以看出,振蕩次數(shù)μ只與與阻尼ξ和振蕩角頻率有關(guān),因此振蕩次數(shù)不受零點(diǎn)的位置影響,即與零點(diǎn)的大小無關(guān)。4.總結(jié)分析通過上述分析可以看出,有具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)
