一維熱傳導方程的數(shù)值解

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1、第3卷第3期淮陰師范學院學報（自然科學版）Vol.3No.32004年8月JOURNALOFHUAIYINTEACHERSCOLLEGE（NATURALSCIENCEEDITION）May.2004#############################################################一維熱傳導方程的數(shù)值解徐建良，湯炳書（連云港高等師范?？茖W校物理系，江蘇連云港222006）摘要：利用差分法對數(shù)理方程的多個較復雜的一維熱傳導問題進行分析，并進行數(shù)值計算，給出了直觀的圖象.關鍵詞：差分法；一維熱傳導方程；邊界條件中圖分類號：O551.3文獻標識碼：

2、A文章編號：1671-687（62004）03-0210-05數(shù)理方程中混合問題的解法通常是比較復雜的，有時很難有解析解，即便解出，其解的形式也通常［14］是一個無窮級數(shù)形式.本文以一維熱傳導混合問題為例，探討利用差分法對數(shù)理方程進行數(shù)值解的方法.1第一類邊界條件的一維熱傳導混合問題的解法設含第一類邊界條件的一維熱傳導混合問題為：2ut=auxx+（fx，t）（0

3、解出，其解也通常是一個無窮級數(shù)的形式，對該解的物理意義不能直接討論，不能給出直觀的圖象.1.1計算方法為求解方程（1），首先定義函數(shù)u（x，t）的時間與空間的網格，將x坐標分成N等份，將t坐標分成M等份.令i表示位置x橫軸，j表示時間t縱軸.網格上每個格點對應一個溫度值.用中心差分近似代替對空間的偏微分，即2"uui-1，j-2ui，j+ui+1，j2=2（4）"x#x用向前差分近似代替對時間的偏微分，即"uui，j+1-ui，j=（5）"t#t以（4）、（5）代入（1）式得ui，j+1-ui，j2ui-1，j-2ui，j+ui+1，j=a2+（fi，j）（6）#t#x解得ui，

4、j+1=（cui-1，j+ui+1，j）+（1-2c）ui，j+#t（fi，j）（7）其中2c=#ta2（8）#x收稿日期：2004-02-21作者簡介：徐建良（1964-），男，江蘇武進人，講師，主要從事物理教學研究.第3期徐建良等：一維熱傳導方程的數(shù)值解211根據(jù)式（7），如果已知（j不同i）坐標每一個格點的溫度值，并且由11類邊界條件可知兩邊界i=1及i=N上的溫度值，那么就可以求出j+1坐標上每一個格點上的溫度值.因此，利用（7）式從初始條件j=1開始，就可逐步算出每一個格點上的溫度值，運算過程如圖1所示.這里必須特別指出的是算法的穩(wěn)定性問題，即解達到穩(wěn)定的條件是2!ta

5、1c=2!（9）!x2圖1第一類邊界條件下熱傳導方程的圖解例1設定解問題為ì2"xut=auxx+ASin（0

6、）/l（0!x!l）例2的數(shù)值計算結果如圖3所示.圖2例1中相同t不同x的溫度變化曲線圖3例2中相同t不同x的溫度變化曲線212淮陰師范學院學報（自然科學版）第3卷從結果可以知道熱傳導桿兩端的溫度始終保持為0，桿的中點溫度總是高于其它點溫度，各點溫度隨著時間變化逐漸降低.2含第二類邊界條件的一維熱傳導混合問題的數(shù)值解法2.121類邊界條件的處理辦法設x=0端滿足第二類邊界條件，即u（xx，t）x=0=!（t）（17）則此時就不能直接利用（7）式求解，必須首先利用（17）式及初始條件（3）逐步求出邊界x=0及其他各點處各時刻的溫度值.因x=0處對應i=1，則由（17）式得!u1，

7、j-u0，j+u2，j==!（j）（18）!x2"x所以u0，j=u2，j-2"x!（j）（19）令（7）式中i=1得u1，j+1=#（u0，j+u2，j）+（1-2#）u1，j+"t（f1，j）（20）由（19）、（20）式解得u1，j+1=2#（u2，j-"x!（j））+（1-2#）u1，j+"t（f1，j）（21）再令（7）中i=2則得u2，j+1=#（u1，j+u3，j）+（1-2#）u2，j+"t（f2，j）（22）這樣就可先由（22）式算出i=2上的各點溫度值，再由（