一維熱傳導方程的基本解

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1、第19卷第4期山東輕工業(yè)學院學報Vol.19No.42005年12月JOURNALOFSIIANDONGINSFPFUPEOFLIGHTINDUSMYDrr2〔舊5一維熱傳導方程的基本解曹鋼.王桂珍，任曉榮(山東輕工業(yè)學院數理科學系，山東濟南250100)摘要:本文介紹了用積分變換法來求解一維熱傳導柯西問題的基本解，并對其物理意義進行了討論，用積分變換法可以將偏微分方程化為常微分方程，使方程易J一解出，從基本解可以看出，在溫度平衡過程中，桿上各點均受初始狀態(tài)的影響，而且基本解滿足歸一化條件表示在熱平衡過程中桿的總熱最保持不變關鍵詞:熱傳導;基本解積分變換中圖分類號.0175_14文

2、獻標識碼A文章編號:1004-4280(2005)04一Don一。方程由于溫度不均勻，熱量從溫度高的地方向溫度低的地方轉移，稱為熱傳導。其強弱用單位時間內通過單位截面積的熱量表示，叫熱流密度4。熱傳導的起源是溫度u不均勻，其程度用溫度梯度v。表示。富里葉熱傳導定律為v二一kv“其中k為熱傳導系數。不同物質的k各不一樣[D1。下面導出物體的溫度u(t,x,y,z)所滿足的方程。設物體是均勻和各向同性的，故其密度P、熱傳導系數‘和比熱。均為常數。又設物體內有熱源分布，其密度為f(t,x,y,z)，即單位時間內體積△V中熱源所放出的熱量為f(t,x,y,z)ov。在物體內取體積V，其邊界

3、曲面為S。在曲面上取面元dS，由富里葉定律可知，無窮小時間段d‘內通過d、從、內流出的熱量為一*箭dSdt，在，1-t2內自。內流出的熱量應為Q1=一‘丁:，汀adSfdt由奧一高公式，有ffudS=II:。·ndS=IIInudxdydz‘吃籠少1‘訣峨人子故。，=一‘丁一‘萬,n,udxdydz}dt另外，在同樣時間同樣體積內，熱源放出的熱量為收稿日期:2005一03一08作者簡介:曹鋼(19w-).男，山東省濟南市人，副教授，從事物理理論與實驗、數學物理方法等方面的教學與研究工作，山東輕工業(yè)學院學報第19卷Q2=一kfz1}姆f(t，一y,z)dxdydz!dt熱量差Q2-Q

4、I使物體溫度由“(t1,x,Y,z)變?yōu)閡(t2,x,Y,z)。由熱學公式，溫度的改變所須熱量為。，=皿Cp[u(t2,x,Y,z)一，(ti,x,y,z)Idxdydz=琴cpIf'1"dtfdxdydz=cpfz1琴·dudxdydzfdt由熱平衡，應有Q:一QI=Q3，即{，{盯「f動Cpd-u一*一、}uldxdvdz}d‘二?！啊疛.Uv一’dt由于tl,t:和v都是任意的，故得到CPU，一k}u一f=0令。=材k/C,v,則方程可寫為au，*t，as二“一““十-7kx,y,zt這就是三維熱傳導方程。如果物體內沒有熱源分布，則方程為du麗=a--u現(xiàn)在考慮各向同性的均勻

5、細桿，其方向為x軸正向。設在每一個垂直于x軸的截面上的溫度相同，細桿的側面與周圍介質沒有熱交換，且桿內無熱源。這時溫度只是坐標x和時間‘的函數，因而，ur=u}二0，則一維熱傳導方程為u,=22u_。粼/k/cp其中c為比熱，p為細桿的密度。2基本解定解問題u,=a2uz(t>0，一二

6、[(一。)2]u二一，x2uu1:二a二1用解常微分方程的方法，易得其解為:u(t,x)=exp{一。YtI第4期曹鋼等:一維熱傳導方程的基本解夠作富氏逆變換，即得一維熱傳導方程.價u(t,x)二州iaxfdA州用同樣方法，可以求得三維熱傳導方程Cauchy問題的基本解:，.，，_，產_、_‘-上一、3_.,..!x2+,1,2+ztL腸、‘，舟，少，‘，一、‘戶尸~，-F一J2!乙a亨7心崢a‘可見，用積分變換法可以將偏微分方程化為常微分方程，使方程易于解出。3物理意義對于一維熱傳導方程問題的基本解，利用不同時刻tl

7、[2,o由圖可見，當￡越小時，在0附近曲線越高;當t越大時，曲線越平。當t~二時，在各點的溫度均趨于零，當t-0時，溫度分布趨于1-h`cr708(x)。但是，不論t為何值，曲線下的面積總圖1“一x曲線和是1,滿足歸一化條件，即).‘:u(t,x)d·二‘表示在桿的熱平衡過程中，其總熱量保持不變，即保持開始一瞬間給于桿的熱量Q二cpo對于同一個時刻，當。二了k邢Ag大時，溫度分布曲線越平，表明溫度的平衡過程越快，也就是當熱傳導系數k越大，比熱。和密度P越小時，溫度平衡