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《隨機(jī)變量與分布和隨機(jī)變量的數(shù)字特征》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布和隨機(jī)變量的數(shù)字特征概念(隨機(jī)變量、概率分布、分布函數(shù))離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度概念(數(shù)學(xué)期望(均值)、方差、相關(guān)系數(shù)、矩)在概率的研究中為什么需要引入隨機(jī)變量?為了便于數(shù)學(xué)推理和計算,有必要將隨機(jī)試驗的結(jié)果數(shù)量化,使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論與方法來研究隨機(jī)試驗,研究和分析其結(jié)果的規(guī)律性,因此,隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗的重要而有效的工具。引入隨機(jī)變量后,隨機(jī)試驗中的任一隨機(jī)事件就可以通過隨機(jī)變量的取值關(guān)系式表達(dá)出來,對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究,就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取
2、值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律如何引入隨機(jī)變量的概念?一般地,如果A為某個隨機(jī)事件,則可以通過如下函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系:如果A發(fā)生如果A不發(fā)生這些例子中,試驗的結(jié)果能用一個數(shù)x來表示,這個數(shù)x是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的,也即它是樣本點的一個函數(shù),這種量就稱為隨機(jī)變量。這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值單值函數(shù)..x?.?RX(?)定義2.1對于隨機(jī)試驗E的每一個可能結(jié)果ω∈Ω,都有唯一的一個實數(shù)值X(ω)相對應(yīng),稱X(ω)為隨機(jī)變量,簡記為X.隨機(jī)變量(RandomVariable)的概念在試驗之前只知道x可
3、能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.它的取值與試驗結(jié)果形成對應(yīng),(1)隨機(jī)變量X是定義在樣本空間上的實值函數(shù),(2)由于試驗結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率,?X的取值情況?它取值的概率的分布情況.隨著實驗結(jié)果的不同而取不同的值,所以隨機(jī)變量取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.隨機(jī)變量的取值既具有可變性,也有隨機(jī)性。這種雙重性正是隨機(jī)變量與普通變量(函數(shù))的本質(zhì)區(qū)別。而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z,w,n等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,N,…,或希臘字母?,η,ζ,…,等表示我們將研究兩類隨機(jī)變量:隨
4、機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分類例:觀察投擲一個骰子出現(xiàn)的點數(shù).隨機(jī)變量X的可能值是:1,2,3,4,5,6.123456例:隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”.則X的取值范圍為0其中(k=1,2,…)滿足:k=1,2,…(1)(2)定義2.3設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值,稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布,或稱為分布列.定義2.2:某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個或可數(shù)多個,這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量表示方法(1)公式法(2)列表法XPPPP我們研究的對象是的概率如何入手將概率
5、問題轉(zhuǎn)化為實變量的函數(shù)形式?(X=x),(X?x),(X>x),(x1?X?x2),…我們研究的對象是隨機(jī)事件的概率隨機(jī)變量的取值或取值范圍由此引進(jìn)了分布函數(shù)的概念:能否選用一個事件將所有事件都表達(dá)出來?(X?x)A(X?x)X(?)P()PP離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2.4ProbabilityandStatistics分布函數(shù)的性質(zhì)3)F(x)是一個右連續(xù)函數(shù),即ProbabilityandStatistics證明重要公式ProbabilityandStatistics解例(1)求X的分布函數(shù)F(x),并畫出它的圖形(2)求概率離散
6、型(1)的分布函數(shù)圖(2)設(shè)離散型X的分布律是P{X=xk}=pk,k=1,2,3,…F(x)=P(Xx)=即F(x)是X取的諸值xk的概率之和.一般地則其分布函數(shù)常見一維離散型隨機(jī)變量的概率分布1°n重伯努利(Bernoulli)試驗、二項分布2°泊松分布伯努利試驗設(shè)試驗E只有兩個可能結(jié)果:A及,則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗。設(shè)P(A)=p(0
7、即若以Ci記第i次試驗的結(jié)果,Ci為A或,i=1,2,…,n.“獨立”是指P{C1C2…Cn}=P(C1)P(C2)…P(Cn).n重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型.它有廣泛的應(yīng)用,是研究最多的模型之一。n重伯努利試驗考慮n重伯努里試驗中,事件A恰出現(xiàn)k次的概率。以X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),X是一個隨機(jī)變量,我們來求它的分布律。X所有可能取的值為0,1,2,…,n.由于各次試驗是相互獨立的,故在n次試驗中,事件A發(fā)生k次的概率為伯努利試驗與二項分布伯努利試驗與二項分布從圖中可以看出,對于固定的n及p,當(dāng)k增加時,b(k;n
8、,p)也隨之增加并達(dá)到某極大值,以后又下降。此外,當(dāng)概率p越與1/2接近時,分布越接近對稱。例:某人進(jìn)行射擊,設(shè)每次射擊的命中率為0.02,獨立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率。解:將一次