隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征.ppt

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1、勤學(xué)好問(wèn)必有所獲第二章隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征隨機(jī)變量與隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量及其分布幾個(gè)常用的概率分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布概率論隨機(jī)變量的數(shù)字特征連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量與隨機(jī)變量分布函數(shù)一、隨機(jī)變量為了更有效的研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來(lái)表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象。先考察下列兩個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子例2.11某人拋擲一枚骰色子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：出現(xiàn)1點(diǎn)；出現(xiàn)2點(diǎn)；出現(xiàn)3點(diǎn)；出現(xiàn)4點(diǎn)；出現(xiàn)5點(diǎn)；出現(xiàn)6點(diǎn)。如果令表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則的可能取值為于是，試驗(yàn)結(jié)果

2、的變量表示為：“出現(xiàn)1點(diǎn)”；“出現(xiàn)2點(diǎn)”“出現(xiàn)3點(diǎn)”；“出現(xiàn)4點(diǎn)”“出現(xiàn)5點(diǎn)”；“出現(xiàn)6點(diǎn)”例2.12某人擲硬幣試驗(yàn)，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗(yàn)結(jié)果的事件表達(dá)形式：RandomVariable國(guó)徽面在上面；有字面在上面如果表示國(guó)徽面在上面，表示有字面在上面。于是，試驗(yàn)結(jié)果的變量表示為：“國(guó)徽面在上面”;“有字面在上面”特點(diǎn)：試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化了，試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。1.Def設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)，均有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，稱為樣本空間上的隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的兩個(gè)特征:1）它是一個(gè)

3、變量；2）它的取值隨試驗(yàn)結(jié)果而改變；3）隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個(gè)隨機(jī)事件。設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則集合是隨機(jī)事件，隨著變化，事件也會(huì)變化。這說(shuō)明該事件是實(shí)變量的“函數(shù)”。2.隨機(jī)變量舉例與分類隨機(jī)變量實(shí)例：例2.13某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。的可能取值為。例2.14某個(gè)燈泡的使用壽命。的可能取值為。例2.15一部電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。的可能取值為。例2.16在區(qū)間上隨機(jī)移動(dòng)的點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)。的可能取值為。隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量有限或無(wú)窮可列取值連續(xù)型

4、非連續(xù)型無(wú)窮且不可列取值二、分布函數(shù)1.隨機(jī)變量的概率分布Def能反映隨機(jī)變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為隨機(jī)變量的概率分布律，簡(jiǎn)稱概率分布。概率分布的常用表達(dá)方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對(duì)型”）。2.分布函數(shù)概念Def設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，則稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。其定義域?yàn)椤ｏ@然，分布函數(shù)是一個(gè)特殊的隨機(jī)事件的概率。3.分布函數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)于任意有（非負(fù)有界性）；（2）（規(guī)范性）；（3）對(duì)于任意有（單調(diào)性）；（4）在每一點(diǎn)至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。是一個(gè)實(shí)函數(shù)！Distri

5、butionFunction若已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則對(duì)于任意有例2.17已知隨機(jī)變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機(jī)變量的分布函數(shù)并作其圖像。解：由題設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為由分布函數(shù)的定義有當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示0.30.30.4210圖2.1概率函數(shù)與概率密度函數(shù)一、隨機(jī)變量的概率函數(shù)1.離散型隨機(jī)變量Def如果隨機(jī)變量所有可能取值為有限或無(wú)窮可列，則該隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值是，而取值的概率為，即有則稱該式為隨機(jī)變量的概

6、率函數(shù)。其也可以用下列表達(dá)：并稱其為隨機(jī)變量的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列。注意：離散型隨機(jī)變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列表示，概率函數(shù)與分布列是等效的，概率函數(shù)或分布列表示更直觀、簡(jiǎn)便。2.概率函數(shù)或分布列的性質(zhì)（1）；（2）（歸一性）。3.概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系已知概率函數(shù)求分布函數(shù)已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.21設(shè)的分布列為試求。解：由隨機(jī)變量的分布列有例2.22設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，用表示抽取出2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求隨機(jī)變量的分布律和“至少

7、抽得一件次品”的概率。解：的可能取值為。于是，由古典概率有所以，的分布列為例2.23一名士兵向一目標(biāo)連續(xù)射擊，直至其擊中目標(biāo)為止。假定該士兵命中率為，而且任意兩次射擊之間互不影響，用表示該名士兵射擊次數(shù)。求的概率分布。解：的可能取值為；設(shè)表示該名士兵第次擊中目標(biāo)，。于是有相互獨(dú)立；。所以即的概率函數(shù)為注意：這種類型的隨機(jī)變量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。當(dāng)時(shí)，取1的概率最大。例2.24設(shè)隨機(jī)變量的概率函數(shù)為試求（1）常數(shù)的值；（2）概率最大的取值。解:(1)由概率函數(shù)的性質(zhì)有又有函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開知，

8、從而有解得(2)由(1)知隨機(jī)變量的分布列為顯然，隨機(jī)變量取1和2的概率最大。二、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1.連續(xù)型隨機(jī)變量Def設(shè)為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)記為，如果存在非負(fù)函數(shù)，使得則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，非負(fù)函數(shù)為概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或密度函數(shù)。2.概率密度的性質(zhì)（1）對(duì)于任意有；（2）；（3）對(duì)于任意有；（4）在函數(shù)連續(xù)點(diǎn)有。3.連續(xù)型隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量區(qū)別定理：設(shè)為連續(xù)型