小 學(xué) 奧 數(shù) 博 弈 問 題 解 題 技巧

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1、小學(xué)奧數(shù)博弈問題解題技巧我國民間一直流傳著一個(gè)名叫“搶十八”的數(shù)學(xué)游戲：參與游戲的兩人從1開始輪流報(bào)數(shù)，每人每次可報(bào)一個(gè)數(shù)或兩個(gè)連續(xù)的數(shù)，誰先報(bào)到18，誰就獲勝。本講就是研究類似于這類游戲的取勝策略。這類問題要用倒推法進(jìn)行研究。以“搶十八”游戲?yàn)槔詈笠獡尩?8，此前必須搶到15，只留給對(duì)方3個(gè)數(shù)，無論對(duì)方報(bào)一個(gè)數(shù)或兩個(gè)連續(xù)的數(shù)，己方都能搶到18；同理要搶到15，此前必須搶到12。如此倒推回去，可得到一系列關(guān)鍵數(shù)：18、15、12、9、6、3。這個(gè)游戲的取勝策略就是：每一步都搶到關(guān)鍵數(shù)，直到最后

2、搶到18。這個(gè)游戲是一個(gè)不公平的游戲，報(bào)數(shù)順序決定了最后的結(jié)果：只有后報(bào)數(shù)者才能搶到這一系列關(guān)鍵數(shù)，后報(bào)數(shù)者才有必勝策略。根據(jù)以上分析，確立取勝策略重要的是搶到關(guān)鍵數(shù)。游戲者所能用到的最大數(shù)和最小數(shù)之和稱為關(guān)鍵因子，關(guān)鍵數(shù)要根據(jù)關(guān)鍵因子確定。如“搶十八”游戲中關(guān)鍵因子就是3，我們從最后一個(gè)數(shù)依次減3，通過倒推可以找出游戲中所有關(guān)鍵數(shù)。在“搶十八”游戲中，最后數(shù)18是關(guān)鍵因子3的整數(shù)倍，也就是關(guān)鍵因子能被最后報(bào)數(shù)整除，這樣的游戲稱為平衡游戲，后報(bào)數(shù)者必勝。如果最后報(bào)數(shù)與關(guān)鍵因子相除有余數(shù)，這樣的游戲

3、稱為不平衡游戲，余數(shù)就是不平衡因子。不平衡搶數(shù)游戲也是不公平的游戲，先報(bào)數(shù)者有必勝策略：先消除不平衡因子，使其變成一個(gè)平衡游戲，先報(bào)數(shù)者隨后就成為平衡游戲的后報(bào)數(shù)者?！绢}目】：有1996個(gè)球，甲、乙兩人進(jìn)行取球比賽，規(guī)則是兩人輪流取，每人每次最少取1個(gè)，最多取4個(gè)，取到最后一個(gè)球的人為勝。如果甲先取，如果取法才能保證取勝？【解析】：這題的關(guān)鍵因子是：1+4=5。1996÷5=399……1，這是個(gè)不均衡的游戲，不均衡因子是1。甲取勝策略為：甲先取1個(gè)球，剩下1995個(gè)球是5的399倍，使游戲變成了均

4、衡游戲。然后每次乙取完之后，甲總是取出適量的球，保持與乙取出球的個(gè)數(shù)和為5，那么剩下的球始終是5的倍數(shù)。直到最后只剩下5個(gè)球，無論乙取幾個(gè)球，甲都能取到最后一個(gè)球?！绢}目】：甲乙兩人輪流地往一張圓桌面上放一枚五分硬幣不能重疊。誰放完一枚之后而使得對(duì)方無法在往桌面上放硬幣時(shí)，誰就是勝利者。如果甲先放，甲有沒有穩(wěn)超勝券的策略？【解析】：甲有穩(wěn)超勝券的策略！圓是中心對(duì)稱圖形，如下圖一，甲先在圓桌正中心放一枚硬幣（紅色），然后無論乙把硬幣（藍(lán)色）放在何處，甲就在乙所放位置關(guān)于中心點(diǎn)對(duì)稱的位置上放另一枚硬幣

5、（如下圖二），這樣只要乙能找到位置放硬幣，甲總能找到對(duì)應(yīng)的位置，直到結(jié)束，甲一定獲勝。?????將本題桌面的形狀，由圓形改為其他軸對(duì)稱圖形，甲同樣有必勝策略，道理同上?！绢}目】：在4×4的方格紙上有一粒棋子，現(xiàn)在甲、乙兩人玩游戲。由甲從左下角的方格開始為第一步，乙接著移動(dòng)這粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移動(dòng)一格，兩人就這樣交替移動(dòng)這粒棋子。誰把棋子移到右上角誰獲勝，問誰將獲勝，獲勝的策略是什么？如下圖，要想最后把棋子下到A點(diǎn)所在的格子里，必須迫使對(duì)方把棋子下到A點(diǎn)周圍的3個(gè)灰色格子里。????

6、因?yàn)橐苿?dòng)這粒棋子，每次只能向上、向右或右上方移動(dòng)一格，如果某一方能把棋子下到B、D這兩個(gè)格子里，則對(duì)方只能進(jìn)入灰色格子，這方必勝。由甲先下第一步，在左下角放入棋子，乙有必勝策略：乙接著把棋子下到C格，這樣向右上方，甲只能把棋子移入某個(gè)綠色格子，乙再接著肯定可以把棋子移入A、B、D三個(gè)中的某個(gè)格子，從而取得最后的勝利。A、B、C、D四個(gè)格子是制勝點(diǎn)，誰搶到誰獲勝。【提高訓(xùn)練】1、甲、乙兩人抓棋子，規(guī)定最多可以抓3個(gè)，最少抓1個(gè)，誰取到最后一個(gè)棋子就算輸。若甲先去抓，棋子數(shù)為2001個(gè)，問乙是否有必勝

7、的策略？2、在90張卡片的兩面各寫一個(gè)數(shù)，第一張寫上1與2，第二張寫上2和3，第三張寫上3和4……，第89張寫89與90，第90張寫90與91，打亂卡片的排列順序，小華看的最后一張卡片上的數(shù)是73.試討論說明在什么情況下，小華可以馬上猜出73的反面是什么數(shù)？1、有這么一個(gè)游戲，報(bào)數(shù)的規(guī)則是：（1）兩人輪流報(bào)數(shù)；（2）每次報(bào)的數(shù)只能是1~10中的某一個(gè)數(shù)；（3）誰報(bào)數(shù)后兩人所報(bào)的全部數(shù)的和為2003，就算誰獲勝。如果讓你先報(bào)，你有必勝的策略嗎？2、有兩堆紐扣，一堆50顆，一堆43顆。規(guī)則為甲、乙兩人

8、輪流從中拿走一顆或幾顆，甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿紐扣，誰拿走最后一顆紐扣，誰就獲勝？請(qǐng)問，你如何取勝？3、一個(gè)有9個(gè)格子的水果盤，貝貝和晶晶輪流在格子里放水果（每個(gè)格子里只能放一個(gè)水果）。貝貝放的是香梨，晶晶放的是蘋果。規(guī)定每人每次至少放1個(gè)，最多放3個(gè)，空格放滿后，計(jì)算一下，哪一方的總數(shù)是偶數(shù)，哪一方就獲勝。問如何確保獲勝？