《數值分析習題課》PPT課件

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1、數值分析復習第一章緒論§1緒論：數值分析的研究內容§2誤差的來源和分類§3誤差的表示§4誤差的傳播§5算法設計的若干原則一、誤差的分類（絕對誤差，相對誤差）例1-1設x*=2.18是由精確值x經過四舍五入得到的近似值。問x的絕對誤差限ε和相對誤差限η各是多少？解：因為x=x*±0.005，所以絕對誤差限為ε=0.005相對誤差限為二、有效數字則稱近似數x*具有n位有效數字。定義設數x的近似值可以表示為其中m是整數,αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一個數字，而α1≠0.如果其絕對誤差限為結論：通過四舍五入原則求得的近似數，其有效數字就是從末尾到第一位非零數字之間的所有數字。例1-2

2、下列近似數是通過四舍五入的方法得到的，試判定它們各有幾位有效數字：解：我們可以直接根據近似數來判斷有效數字的位數，也可以通過絕對誤差限來判斷。有5位有效數字。同理可以寫出可以得出x2,x3,x4各具有4、3、4位有效數字。x1*=87540，x2*=8754×10,x3*=0.00345,x4*=0.3450×10-2已知例1-3已知e=2.718281828……,試判斷下面兩個近似數各有幾位有效數字？解：由于而所以e1有7位有效數字。同理：e2只有6位有效數字。三、算法設計的若干原則1：兩個很接近的數字不做減法:2:不用很小得數做分母(不用很大的數做分子)練習：求方程x2-56x+1

3、=0的兩個根，使它們至少具有四位有效數字第二章插值與擬合1、Lagrange插值多項式,Newton插值多項式的構造與插值余項估計，及證明過程。2、Hermite插值多項式的構造與插值余項估計，帶導數條件的插值多項式的構造方法，基于承襲性的算法，基函數法，重節(jié)點差商表的構造；3、分段插值及三次樣條插值的構造4、最小二乘擬合掌握Lagrange插值多項式的構造方法及具體結構掌握Lagrange插值多項式誤差分析方法和證明方法掌握Newton插值多項式的形式及誤差掌握差商表的構造過程關于離散數據：構造了lagrange插值多項式：Newton插值多項式：例1-3已知f(x)的五組數據(1,

4、0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、(5,116),求N4(x)。如果再增加一個節(jié)點(6,282),求出N5(x)，并計算N4(1.5)、N5(1.5).解：先由前五組數據列差商表10223124425116210307441022240.5628216646810.1得到：如果，再增加一點(6,282),就在上表中增加一行計算差商由Newton公式的遞推式得到：得到：2.分段性插值有何優(yōu)缺點？誤差估計？（插值節(jié)點的選擇）1.高次插值的Runge現象，應如何避免？3.Hermite插值的構造,誤差估計4.三次樣條函數的定義、構造過程5.數據擬合的最小二乘法（可化為直線擬合的非

5、線性擬合的處理方法）解：二、典型例題分析例1.令x0＝0，x1＝1，寫出y(x)＝e-x的一次插值多項式L1(x),并估計插值誤差．（P55,t14題）記x0＝0，x1＝1,y0＝e-0＝1，y1＝e-1;則函數y＝e-x以x0、x1為節(jié)點的一次插值多項式為因為y’(x)＝-e-x，y"(x)＝e-x，所以推廣：等距節(jié)點(h),二次插值的誤差界是例3．設f(x)＝x4，試利用拉格朗日插值余項定理寫出以-1,0,1,2為插值節(jié)點的三次插值多項式．解:記f(x)以-1，0，1，2為插值節(jié)點的三次插值多項式為L3(x)．由插值余項定理有所以例4．證明由下列插值條件所確定的拉格朗日插值多項式是

6、一個二次多項式．該例說明了什么問題?(t8)以x0，x2，x4為插值節(jié)點作f(x)的2次插值多項式p(x)，則解:x0x2x4容易驗證因而6個點(xi,yi)，i＝01,…,5均在二次曲線p(x)＝x2-1上．換句話說，滿足所給插值條件的拉格朗日插值多項式為p(x)＝x2-1.分析:這是一個非標準插值問題,我們可以按各種思路去做．可按兩種方法去做:一種是先求牛頓或拉格朗目型插值,再通過待定系數法求Pn(x)；另一種是先求埃爾米特插值,再通過待定系數法確定Pn(x)．下面給出三種做法．例6求一個次數不高于4的多項式P4(x)，使它滿足P4(0)=P4'(0)=0，P4(1)=P4'(1)

7、=1，P4(2)=1．解法一先求滿足P4(0)=0，P4(1)=1，P4(2)=1的插值多項式P2(x)，易得顯然P4(x)滿足P2(x)的插植條件，利用兩個導數條件確定系數A，B．由P4'(0)=0,P4'(1)=1解得A=1/4,B=-3/4.故設解法二先作滿足埃爾米特插值多項式H3(x)．解法三構造插值基函數求.記x0=0，x1=1，x2=2，并設所求多項式為其中l(wèi)i(x)均為次數不超過4的多項式且滿足如下條件：易知例11已知函數y=f(