函數(shù)模型及其應用實例1

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1、函數(shù)模型的應用實例一、新課引入到目前為止，我們已經(jīng)學習了哪些常用函數(shù)？一次函數(shù)二次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)（a≠0）大家首先來看一個例子郵局規(guī)定，郵寄包裹，在5千克內每千克5元，超過5千克的超出部分按每千克3元收費，郵費與郵寄包裹重量的函數(shù)關系式為____．f（x）＝從中可以知道，函數(shù)與現(xiàn)實世界有著緊密的聯(lián)系，有著廣泛應用的，那么我們能否通過更多的實例來感受它們的應用呢？若能的話，那么如何在實際問題中建立函數(shù)模型呢？例3一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關系如圖3.2-7所示。（1）求圖3.2-7中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際

2、含義；解：（1）陰影部分的面積為50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360km圖3.2-7（2）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立行駛這段路程時汽車里程表讀數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出相應的圖象。這個函數(shù)的圖象如圖3.2-8所示S=解：根據(jù)圖3.2-7，有50t+200480(t-1)+205490(t-2)+213475(t-3)+222465(t-4)+22990≤t＜11≤t＜22≤t＜33≤t＜44≤t＜5t圖3.2-8s圖

3、3.2-7從這個練習我們看到，在解決實際問題的過程中，圖象函數(shù)是能夠發(fā)揮很大的作用，因此，我們應當注意提高讀圖的能力。另外，在本題中我們用到了分段函數(shù)，由此我們也知道，分段函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實問題的重要模型。大家在運用分段函數(shù)的時候要注意它的定義域。那么應該如何解函數(shù)的應用問題呢？例4人口問題是當年世界各國普通關注的問題。認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)。早在1798年，英國經(jīng)濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：表3-8是1950～1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：年份19501951195219531954195

4、51956195719581959人數(shù)/萬人55196563005748258796602666145662828645636599467207其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率。（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數(shù)據(jù)是否相符；解：（1）設1951～1959年的人口增長率分別為r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增長率r1≈0.

5、0200。同理可得，r2≈0.0210r3≈0.0229r4≈0.0250r5≈0.0197r6≈0.0223r7≈0.0276r8≈0.0222r9≈0.0184于是，1951～1959年期間，我國人口的年均增長率為r=（r1+r2+···+r9）÷9≈0.0221令y0=55196，則我國在1950～1959年期間的人口增長模型為根據(jù)表3-8中的數(shù)據(jù)作出散點圖，并作出函數(shù)的圖象（圖3.2-9）。由圖3.2-9可以看出，所得模型與1951～1959年的實際人口數(shù)據(jù)基本吻合。圖3.2-9ty（2）如果按表3-8的增長趨勢，大約在哪一年我國的

6、人口達到13億？解：將y=130000代入由計算器可得t≈38.76所以，如果按表3-8的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達到13億。由此可以看到，如果不實行計劃生育，而是讓人口自然增長，今天我國將面臨難以承受的人口壓力。從以上的例子可以看到，用已知的函數(shù)模型刻畫實際問題的時候，由于實際問題的條件與得出已知模型的條件有所不同，因此通過模型得出的結果往往會與實際問題存在一定的誤差。因此，往往需要對模型進行修正。中國移動通訊公司擁有“全球通”“神州行”“動感地帶”三大著名客戶品牌．“全球通”：收費標準是月

7、租費50元，通話1分鐘話費0.4元；“神州行”：不繳月租費，本地接聽和主叫均為0.6元/分鐘，長途0.8元；“動感地帶”（M—zone）是今年3月份北京移動為年輕一族量身定做的移動客戶品牌．其最大賣點在于其短信套餐，分別為每月支付20元可發(fā)300條短信或者每月支付30元可發(fā)500條短信（假設選擇第一種套餐），一條不到一毛錢，資費標準：中國移動網(wǎng)內0.4元/分鐘，網(wǎng)外0.6元/分鐘，免交月租．若一個月內通話分鐘為x（僅考慮均撥打本地網(wǎng)內電話的情況），三種方式的費用分別為y1元、y2元和y3元．練習1（2）當x＝300時，y1＝170元，y2＝

8、180元，y3＝140元，所以使用“動感地帶”合算些．（1）一個月內通話多少分鐘，“全球通”與“神州行”通訊費相同？（2）某人估計一個月內通話300分鐘，應選擇哪種通訊方式合算？