數(shù)值分析第七章電子教案

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1、第七章第七章非線性方程求根非線性方程求根§§11二分法（對分法）二分法（對分法）§§22迭代法的算法和理論迭代法的算法和理論§§33迭代加速收斂的方法迭代加速收斂的方法§§4Newton4Newton迭代法迭代法§§55弦割弦割法和拋物線法法和拋物線法西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔1一一..研究數(shù)值解法的必要性研究數(shù)值解法的必要性1一般方程的根無法用解析表達(dá)式給出；2三次、四次方程的求根公式較繁。需要給出求根的近似值的方法。需要給出求根的近似值的方法。二二..方程方程的根的根*方程f(x)=0的解x稱為方程f(x)

2、=0的根或稱為f(x)的零點(diǎn)。*m若，f(x)=(x?x)g(x)其中m為正整數(shù)，**g(x)滿足g(x)≠0，顯然x為f(x)的零點(diǎn)。這**時(shí)，稱x為f(x)的m重零點(diǎn)，或稱x為f(x)=0的m重根。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔2*定理定理若f(x)具有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x是f(x)的m重零點(diǎn)之充要條件為：**(m?1)*(m)*f(x)=0,f′(x)=0,L,f(x)=0,f(x)≠0三三..根的搜索根的搜索求方程根的近似值之前，一般需要首先確定隔（有）根區(qū)間隔（有）根區(qū)間[a,b]（在[a,b]上方程僅有一

3、個(gè)根）。方法：方法：通過函數(shù)f(x)的增減性、凹凸性、變號特征等，并結(jié)合做草圖來確定隔（有）根區(qū)間[a,b]。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔3§§11二分法（對分法）二分法（對分法）基本思想：基本思想：通過區(qū)間逐次分半，將有根區(qū)間逐步縮小。設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)f(b)<0，且在[a,b]*內(nèi)f(x)=0僅有一個(gè)實(shí)根x。記[a,b]為[a,b]111①①計(jì)算[a1,b1]中點(diǎn)x1=(a1+b1)的函數(shù)值f(x1)2*若，f(x)=0則x=x11*若，f(x1)f(a1)<0則x∈[a1,x1]。令a

4、2=a1,b2=x1*若，f(x1)f(b1)<0則x∈[x1,b1]。令a2=x1,b2=b1新的有根區(qū)間[a,b]的長度2211b?a=(b?a)=(b?a)221122西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔4a+b22②②再計(jì)算[a2,b2]中點(diǎn)x2=的函數(shù)值f(x2)。2*若，f(x2)=0則x=x2fxfa<*若，(2)(2)0則x∈[a2,x2]。令a3=x2,b3=x2*若，f(x2)f(b2)<0則x∈[x2,b2]。令a3=x2,b3=b2新的有根區(qū)間[a,b]的長度3311b?a=(b?a)=(b?a)

5、3322222如此對分下去，則得到一系列有根區(qū)間[a,b]>[a,b]>L>[a,b]>L1122kk11且bk?ak=(bk?1?ak?1)=L=k?1(b?a)22西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔5a+bkk由xk=2*11得xk?x≤(bk?ak)=k(b?a)k=1,2,L22當(dāng)對分過程無限繼續(xù)下去，則有根區(qū)間必*收縮為一點(diǎn)，即limxk=xk→∞具體做法具體做法1(1)給定(b?a)<εε每步檢查k是否成立，2*若成立，取x≈xk，否則繼續(xù)對分。1或令k(b?a)<ε，先確定對分次數(shù)k，再計(jì)算xk。2*b?

6、a(2)誤差估計(jì)為xk?x≤k211b?a=(b?a)=L=(b?a)kkk?1k?1k?1西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔226優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)對函數(shù)性質(zhì)要求不高（只要函數(shù)連續(xù)）；計(jì)算簡單，且可達(dá)到任意精度。缺點(diǎn)缺點(diǎn)計(jì)算量大；不能求復(fù)根與偶重根。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔7§§22迭代法的算法和理論迭代法的算法和理論一一不動(dòng)點(diǎn)迭代法不動(dòng)點(diǎn)迭代法對給定的方程f(x)=0，將其變?yōu)榈葍r(jià)的方程xx==??((xx))x=?(x)k=0,1,L構(gòu)造k+1k{xk}k=0,1,L稱為迭代序列，?(x)稱為迭代函數(shù)。xk+1=?(xk)

7、稱為迭代格(公)式或迭代過程。當(dāng)?(x)連續(xù)時(shí)，若若limxk+1=A則有k→∞limx=lim?(x)=?(limx)k+1kkk→∞k→∞k→∞即A=?(A)故序列序列{xk}的極限為方程的極限為方程x=?(x)(或ff((xx)=0)=0)的根的根。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔8****若滿x足x=?(x)，稱為x?(x)的不動(dòng)點(diǎn)。**即映射關(guān)系?將x映射到x本身。***因f(x)=0?x=?(x)求求ff((xx))的零點(diǎn)等價(jià)求的零點(diǎn)等價(jià)求??的不動(dòng)點(diǎn)。的不動(dòng)點(diǎn)。也稱xk+1=?(xk)k=0,1,L為不

8、動(dòng)點(diǎn)迭代法（簡單迭代法或逐次逼近法）。迭代序列的收斂性及收斂速度依賴于迭代序列的收斂性及收斂速度依賴于迭代函數(shù)的選取。迭代函數(shù)的選取。西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院歐陽潔9二二不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一般理論不動(dòng)點(diǎn)迭代法的一般理論定理（不動(dòng)點(diǎn)定理）定理（不動(dòng)點(diǎn)定理）1已知x=?(x)，若?(x)∈C[a,b]IC（a,b）且①①對，?x∈[a,b]有a≤?(x)≤b；②②存在常數(shù)0