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1、數(shù)值分析教案Chls弓I論§1、數(shù)值分析及其特點(diǎn)1、數(shù)值分析主要研究用計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法及理論，內(nèi)容主耍包括:1數(shù)值逼近（插值與擬合、多項(xiàng)式逼近和數(shù)值積分等）（Ch2?Ch4）2數(shù)值代數(shù)（求解線性、非線性方程以及特征問(wèn)題的數(shù)值方法）（Ch6?Ch9）3常微分方程的數(shù)值解法（Ch5）2、數(shù)值分析的特點(diǎn)1首先要冇可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；2其次耍對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行謀差估計(jì)，以確定其是否滿足精度；3還要考慮算法的運(yùn)行效率，即算法的計(jì)算量與存儲(chǔ)量。例如Codey和Tukeyl965年捉出FFT,,N=32K,1000倍§
2、2、數(shù)值分析中的誤差1、誤差的類(lèi)型與來(lái)源1模型誤丼；2觀測(cè)誤差；3截?cái)嗾`差（方法誤差）一模型的準(zhǔn)確解與數(shù)值方法準(zhǔn)確解之間的誤差；4舍入誤并一實(shí)數(shù)形式的原始數(shù)據(jù)與浮點(diǎn)形式的計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)Z間的誤并。數(shù)值分析主要研究截?cái)嗾`差與舍入誤差。nY~jrx例1、根據(jù)Taylor展式e=l+x+一+…+—+/?〃（x）計(jì)算訂（誤差小于0.01）。2!/1!解：八E+晉呼斗+于廠苕刃—而（截?cái)鄷r(shí)）-0.3667（舍入齡）2、誤差的基本概念①誤差與誤差限設(shè)無(wú)為某量的精確值，F(xiàn)為兀的一個(gè)近似值，則稱/=為T(mén)的（絕對(duì)）誤差，e；=x-x/x為F的相對(duì)誤差。用某種方法
3、確定的誤差的某個(gè)上界，稱為T(mén)的誤差限，顯然
4、%-Z
5、<^,EPZ-^6、,1,2-..,6）,并做謀差分析。x+5解：人訂y+E；W=-5/心+丄,/。訂：傘in*0?1823=1dx/；JOY^SNx+55/；=0」823算法l:■皿+丄，結(jié)果見(jiàn)下表。▽1/1fIf11)r*又一<------<一，----------7、0.088420.05770.05800.058030.04580.04310.043140.0210.03440.034350.0950.02810.02856-0.30830.02620.0243誤差分析:即在計(jì)算過(guò)程中誤差放大了5〃倍。即誤差縮小了5"倍。定義若某算法受初始誤羞或計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的舍入誤羞的影響較小，則稱Z是數(shù)值穩(wěn)定的，反之稱為不穩(wěn)定算法。2、病態(tài)問(wèn)題例3、將方程/?（兀）=（兀一l）（x—2）…（兀一20）=0,即兀"一21029+..?+20!=0改為攝動(dòng)方程21919-237X°-（210+￡）X+---+20!=0,即p
8、（x）-￡r=0,其中E=2?10"oWilkinson用精密方法計(jì)算出其根為:1.0000,--,6.0000,6.9997,8.0073,8.9173,10.0953±0.6435Z,???,19.5024±1.9403/,20.8469。令p（x,￡）=0一?io+￡）衛(wèi)9+…+20!,其根為X.（￡）,i=1,2,…20,則當(dāng)￡T0時(shí),兀（e）tio顯然九⑹d￡反映了初始數(shù)據(jù)的微小攝動(dòng)對(duì)旳（◎的影響程度即￡=（）?19因〃（￡（￡）=0,,￡故）-左叫―）"T）￡=0/及問(wèn)題的條件數(shù)。10_,8九（￡）10-3dedXj（￡）10'8104
9、20107（壞條件問(wèn)題）10?19106?IO?定義2：若初始數(shù)據(jù)的微小課羞都會(huì)對(duì)最終的計(jì)算結(jié)杲產(chǎn)生極大的影響，則稱這種問(wèn)題為病態(tài)問(wèn)題（壞條件問(wèn)題），反之稱其為良態(tài)問(wèn)題。例4、分別將線性方程組的右端「向1量和系數(shù)矩陣中數(shù)據(jù)做一個(gè)微小變化，具體數(shù)據(jù)如F：0廠10787、X】<32.1<9.2、7>7565兀222.9X=-12.6886109兀333.14.5,7,75910<30.9,「1.1丿丿1078.17.2、"32<-8P、7.085.0465兀2_23X=13785.989.899兀333-34円丿,316.994.9999.98；<22
10、,丿然后用精確方法求解，發(fā)現(xiàn)其解與原方程解相比發(fā)生了很大的變化。這表明此方程組為病態(tài)方程組?！?、算法的實(shí)現(xiàn)與常用的數(shù)學(xué)軟
