不動點法解題目

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1、利用“不動點”法巧解高考題定義；方程f(x)=x的根稱為函數(shù)f(x)的不動點。利用遞推數(shù)列f（x）的不動點,可將某些遞推關(guān)系an=￡(an-1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項的數(shù)列，這種方法叫不動點法。對于這個方法有幾個重要定理，若只從代數(shù)角度理解，恐怕對許多中學生來說是有難度的。下面筆者對這幾個定理予以幾何解釋：定理1：若f(x)=ax+b(a≠0,a≠1)，p是f(x)的不動點，an滿足遞推關(guān)系an=￡(an-1),(n>1)則an-P=a(an-1-p),即{an-P}是公比為a的等比數(shù)列。它的代數(shù)證明如下：證明：因為p是f（x）的不動點,所以ap+b=p,所以b-p=-a

2、p,由an=a.an-1+b得an-p=a.an-1+b-p=a(an-1-p),所以{an-P}是公比為a的等比數(shù)列。對這一定理的幾何意義如下：f(x)=x,即f(x)與g(x)=X的交點一目了然，an-p/an-1-p即為f(x)的斜率a。99上面是【文1】給出的純代數(shù)證明，下面看看它所蘊含的幾何意義。與定理一的幾何意義相似，表示的是兩條直線的的斜率相比是定值k,但怎么證明筆者尚未想到簡便的方法，只能從上面的代數(shù)方法借鑒。第二種情況也是如此，an-p/an-1-p+k(an-p)=1.如下圖，由于筆者能力有限，尚未發(fā)現(xiàn)幾何證法。99由遞推公式求其數(shù)列通項歷來是高考的重點和熱點題型，

3、對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵．與遞推關(guān)系對應的函數(shù)的“不動點”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對函數(shù)“不動點”問題的研究結(jié)果，來簡化對數(shù)列通項問題的探究。筆者在長期的教學實踐中，不斷總結(jié)探究反思，對那些難求通項的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動點知識探究的規(guī)律性總結(jié)，以期對同學們解題有所幫助．1不動點的定義一般的，設的定義域為,若存在，使成立，則稱為的不動點，或稱為圖像的不動點。2求線性遞推數(shù)列的通項定理1設，且為的不動點，滿足遞推關(guān)系，，證明是公比為a的等比數(shù)列。證：∵是的不動點，所以，所以，所以，∴數(shù)列是公

4、比為的等比數(shù)列。9例1（2010上海文數(shù)21題）已知數(shù)列的前項和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).證：(1)當n=1時，a1=-14；當時，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，記，令，求出不動點，由定理1知：，又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列。(2)解略。3求非線性遞推數(shù)列的通項定理2設，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，（?。┤簦瑒t數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（ⅱ），則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。證：（?。┯深}設知；同理∴，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。（ⅱ）由題設知＝的解為，∴且＝。所以9，所以數(shù)列是公

5、差為的等差數(shù)列。例2（2006年全國Ⅱ卷22題）設數(shù)列的前項和為，且方程有一根為。求數(shù)列的通項公式。解：依題，且，將代入上式，得，記，令，求出不動點，由定理2（ⅱ）知：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，因此數(shù)列的通項公式為。例3（2010年全國卷Ⅰ22題）已知數(shù)列中，（Ⅰ）設，求數(shù)列的通項公式.（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍.解：（Ⅰ）依題，記，令，求出不動點；由定理2（?。┲?，；兩式相除得到，所以是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，從而（Ⅱ）解略。9定理3設，且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有；若，則是公比為的等比數(shù)列。證：∵是的不動點，∴，。，又，則，∴，故是公比為的等比

6、數(shù)列。例4（2010東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列滿足，．⑴求證：；⑵求證：；⑶求數(shù)列的通項公式．證：⑴、⑵證略；⑶依題，記，令，求出不動點；由定理3知：，，所以，又，所以．又，令，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以．由，得．所以．利用函數(shù)“不動點”9法求解較復雜的遞推數(shù)列的通項問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對更為復雜的遞推數(shù)列進行論述，以下兩個定理供有興趣的同學探究證明。定理4設且是的最小不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有定理5設且是的不動點，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有9