利用不動(dòng)點(diǎn)法巧解高考題

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1、利用“不動(dòng)點(diǎn)”法巧解高考題由遞推公式求其數(shù)列通項(xiàng)歷來是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，對(duì)那些已知遞推關(guān)系但又難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問題，充分運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點(diǎn)和關(guān)鍵．與遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”決定著遞推數(shù)列的增減情況，因此我們可以利用對(duì)函數(shù)“不動(dòng)點(diǎn)”問題的研究結(jié)果，來簡(jiǎn)化對(duì)數(shù)列通項(xiàng)問題的探究。筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中，不斷總結(jié)探究反思，對(duì)那些難求通項(xiàng)的數(shù)列綜合問題，形成利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)知識(shí)探究的規(guī)律性總結(jié)，以期對(duì)同學(xué)們解題有所幫助．1不動(dòng)點(diǎn)的定義一般的，設(shè)的定義域?yàn)?若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，或稱為圖像的不動(dòng)點(diǎn)。2求線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)定理

2、1設(shè)，且為的不動(dòng)點(diǎn)，滿足遞推關(guān)系，，證明是公比為a的等比數(shù)列。證：∵是的不動(dòng)點(diǎn)，所以，所以，所以，∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。例1（2010上海文數(shù)21題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出使得成立的最小正整數(shù).證：(1)當(dāng)n=1時(shí)，a1=-14；當(dāng)時(shí)，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，即即，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，由定理1知：，又a1-1=-15≠0，所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列。(2)解略。3求非線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)定理2設(shè)，且是的不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，（ⅰ）若，則數(shù)列是公比為5的等比數(shù)列；（

3、ⅱ），則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。證：（?。┯深}設(shè)知；同理∴，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。（ⅱ）由題設(shè)知＝的解為，∴且＝。所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。例2（2006年全國(guó)Ⅱ卷22題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且方程有一根為。求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：依題，且，將代入上式，得，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)，由定理2（ⅱ）知：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以5，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為。例3（2010年全國(guó)卷Ⅰ22題）已知數(shù)列中，（Ⅰ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）求使不等式成立的的取值范圍.解：（Ⅰ）依題，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)；由定理2（?。┲海?；兩式相除得到，所以是以為公比，

4、為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，從而（Ⅱ）解略。定理3設(shè)，且是的不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有；若，則是公比為的等比數(shù)列。證：∵是的不動(dòng)點(diǎn)，∴，。5，又，則，∴，故是公比為的等比數(shù)列。例4（2010東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列滿足，．⑴求證：；⑵求證：；⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式．證：⑴、⑵證略；⑶依題，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)；由定理3知：，，所以，又，所以．又，令，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以．由，得．所以．利用函數(shù)“不動(dòng)點(diǎn)”法求解較復(fù)雜的遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題，并不局限于以上三種類型，基于高考數(shù)列試題的難度，本文不再對(duì)更為復(fù)雜的遞推數(shù)列進(jìn)行論述，以下兩個(gè)定理供有興趣

5、的同學(xué)探究證明。定理4設(shè)且是的最小不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有定理5設(shè)且是的不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列5滿足遞推關(guān)系，，則有5