波動(dòng)方程求解

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1、關(guān)于弦振動(dòng)波動(dòng)方程的求解方法一、無界弦振動(dòng)1、一維齊次波動(dòng)方程達(dá)朗貝爾方程解無界的定解問題u（x,t）=—［（p（x+at）+0（兀-at）］+—「”0（$v達(dá)朗貝爾公式＞22aJ"在常微分方程的定解問題中，通常是先求方程的通解，然后利用定解條件確定通解所含的任意常數(shù)，從而得到定解問題的解?？紤]無界的定解問題一般方程為d2u喬U1=0d2u左'—oo=0（兀）,単

2、心）=0（兀）ot由達(dá)郎貝爾公式，解在點(diǎn)（尢丿）的值由初始條件在區(qū)間［x-at.x+at］內(nèi)的值決定,稱區(qū)間［x-at,x+at］為點(diǎn)CM）的依賴區(qū)域，在兀一r平面上,它可看作是過點(diǎn)CM）,斜率分別土丄為的兩條直

3、線在*軸上截得的區(qū)間。a2、一維非齊次波動(dòng)方程的柯西問題達(dá)朗貝爾方程解非齊次定解問題—OO0d2U2薩M訴+wx=o=0（兀）'警!/=（）=0（兀）令二5尢,/）+卩（兀,/）,可將此定解分解成下面兩個(gè)定解問題:—8v兀v+汽/>0d2U2幾W=Cl亦弘1口=久兀），孑山=0（兀）ut(II)d2u9d2u麗F喬+/(兀,/),匸o=°—8VXV+8,/>0其中問題（I）的解可由達(dá)朗貝爾公式給出:11rx^atU（x,t）=—［（p（x+at）+（p{x-at）］+一（p（g）dg。22aJe對(duì)于問題（II）,有下面重要的定理。定理（齊次化原理）設(shè)。（兀,卩）是柯西問題d2

4、a)a23.e=0,^

5、/=r=/(X,T)的解(r>0),貝0V(x,t)=￡co(x.t,T)dt是問題(II)的解。二、有界的弦振動(dòng)方程1、分離變量法齊次條件的分離變量法d2U2Au00w(0,r)=n(/,0=0(1)(2)U1匸0=0（兀），絢luo=0（兀）(3)設(shè)嗆,r）=X（兀）“/）,代入方程（1）得:X(x)=T(r)X(x)-aT(t)上式右端不含X,左端不含/,所以只有當(dāng)兩端均為常數(shù)吋才能相等。令此常數(shù)為-八則有：X"(x)+2X(兀)=0(4)T'(r)+tz2/lT(r)=0(5)所齊次邊界條件可得：X(0)=0,X'(/)+/?X(/)=0(6)從

6、而特征值問題：JX(x)+/lX(x)=0[X(O)=O,X(/)+72X(/)=O對(duì)A的取值分三種情況A>0,A=0,A<0進(jìn)行討論。這個(gè)定解的特點(diǎn)是：偏微分方程是齊次的，邊界條件是齊次的。求解這樣的方程可用疊加原理。類似于常微分方程通解的求法先求出其所有線性無關(guān)的特解，通過疊加求定解問題的解。非齊次條件分離變量法分離變量法要求方程是齊次、邊界條件也為齊次，如果上述條件之一破壞，則不能采用分離變量法解。分離變量法要求定解問題的邊界條件是齊次的，這是因?yàn)橛梅蛛x變量法要將特征函數(shù)疊加起來，如果邊界條件非齊次，則通過疊加后的函數(shù)就不可能滿足原邊界條件。所以當(dāng)邊界條件是非齊次吋，必須設(shè)法將邊界條件

7、化成齊次的。如：譏0,0=?、糯á?=直⑴w(x,0)=0(兀)妁(兀,0)=0(兀)設(shè)w(x,r)=V(x,r)+W(x,z),通過適當(dāng)選取W(x,t)使新的未知函數(shù)滿足齊次邊界條件，這只須使WCM)滿足：說(0,/)=g&),W}(U)=g2(t)即可。小結(jié)：分離變量法的解題步驟a,令U(x,t)=X(x)+T(t)b,將試探解帶入泛定方程。c,將等式兩邊同時(shí)乘以亠，進(jìn)行分離變量，獲得兩個(gè)常微分方a%程。d,由邊界條件，將X(x)方程解出需要討論本征值久(2>0,A=O,A<0)三種情況，獲得本正值和本征函數(shù)。e,寫出T(t)解的形式后與X(x)—起構(gòu)成t/(x,r)通解形式。f,由初始

8、條件確定待定系數(shù)。三、無界、有界，齊次、非齊次的通解方法傅里葉級(jí)數(shù)解法-=a200---(1)d廠dx

9、ks4???⑼t8kY7TWCV)=E(t)sinE^…⑼(9)式帶回到(6)式匕t解出:整理出”(麻)與*山)構(gòu)成“山)的解，再帶回到(3)是求出待定系數(shù)。小結(jié)：一般傅里葉級(jí)數(shù)的求解步驟81、令t/(x,r)=^T(t)Xk(x),其中展開基Xk(x)為對(duì)應(yīng)齊次函數(shù)本征函k=0k數(shù)(由邊界條件決定)2、將t/(x,r)=^；T(t)Xr(x)帶入泛定方程后，將f(x,t)也按XJx)展為k=0k傅里葉級(jí)數(shù)，